時(shí)間：2023-06-04 10:48:49
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇分?jǐn)?shù)除法的意義，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
1、理解并掌握分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，會(huì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法計(jì)算。
2、會(huì)解答已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少求這個(gè)數(shù)的實(shí)際問(wèn)題。
3、理解比的意義，知道比與分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系，并能類推出比的基本性質(zhì)。能夠正確地化簡(jiǎn)比和求比值。
4、能運(yùn)用比的知識(shí)解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。
單元重點(diǎn)：
一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的意義以及計(jì)算方法，并會(huì)分?jǐn)?shù)除法解決相關(guān)的問(wèn)題。
單元難點(diǎn)：
一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則的推導(dǎo)。
1、分?jǐn)?shù)除法
（1）分?jǐn)?shù)除法的意義和整數(shù)除以分?jǐn)?shù)
教學(xué)目標(biāo)：
1、通過(guò)實(shí)例，使學(xué)生知道分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義是相同的，并使學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算法則。
2、動(dòng)手操作，通過(guò)直觀認(rèn)識(shí)使學(xué)生理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生正確地總結(jié)出計(jì)算法則，能運(yùn)用法則正確地進(jìn)行計(jì)算。
3、培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力，提高計(jì)算能力。
教學(xué)重點(diǎn)：
使學(xué)生理解算理，正確總結(jié)、應(yīng)用計(jì)算法則。
教學(xué)難點(diǎn)：
使學(xué)生理解整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的算理。
教學(xué)過(guò)程：
一、復(fù)習(xí)
1、復(fù)習(xí)整數(shù)除法的意義
（1）引導(dǎo)學(xué)生回憶整數(shù)除法的計(jì)算法則：已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。
（2）根據(jù)已知的乘法算式：5×6＝30，寫(xiě)出相關(guān)的兩個(gè)除法算式。（30÷5＝6，30÷6＝5）
2、口算下面各題
×3××××6×
二、新授
1、教學(xué)例1
（1）出示插圖及乘法應(yīng)用題，學(xué)生列式計(jì)算：100×3＝300（克）
（2）學(xué)生把這道乘法應(yīng)用題改編成兩道除法應(yīng)用題，并解答。
A、3盒水果糖重300克，每盒有多重？300÷3＝100（克）
B、300克水果糖，每盒100克，可以裝幾盒？300÷100＝3（盒）
（3）將100克化成千克，300克化成千克，得出三道分?jǐn)?shù)乘、除法算式。
×3＝（千克）÷3＝（千克）÷3＝3（盒）
（4）引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)整數(shù)題組和分?jǐn)?shù)題組的對(duì)照，小組討論后得出：分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法相同，都是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另個(gè)一個(gè)因數(shù)。都是乘法的逆運(yùn)算。
2、鞏固分?jǐn)?shù)除法意義的練習(xí)：P28“做一做”
3、教學(xué)例2
（1）學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的紙，小組討論操作，如何把這張紙的平均分成2份，并通過(guò)操作得出每份是這張紙的幾分之幾。
（2）小組匯報(bào)操作過(guò)程，得出：將一張紙的平均分成2份，每份是這張紙的。
4÷2
5
（3）引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，對(duì)照不同的折法，說(shuō)出兩種不同的計(jì)算方法。
A、÷2＝＝，每份就是2個(gè)。
B、÷2＝×＝，每份就是的。
（4）如果把這張紙的平均分成3份呢？讓學(xué)生從上面兩種方法中選擇一種進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)操作對(duì)比，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)第二種方法適用的范圍更廣。
4、引導(dǎo)學(xué)生觀察÷2和÷3兩個(gè)算式，概括出分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計(jì)算法則：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，等于乘上這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。
三、練習(xí)
÷3÷3÷20÷5÷10÷6
四、總結(jié)
一、利用分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，開(kāi)啟分?jǐn)?shù)除法計(jì)算
在分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中我們首先利用分?jǐn)?shù)除以整數(shù)作為教學(xué)的第一步。課堂開(kāi)始我們拿出學(xué)生們熟悉的“蛋糕模型”，我們將蛋糕模型平均分為5份，然后隨機(jī)拿出3份，提問(wèn)：“你們告訴老師我拿出來(lái)的蛋糕占整個(gè)蛋糕的幾分之幾？”學(xué)生異口同聲地回答：“占全部蛋糕的五分之三。”教師在黑板上寫(xiě)下。之后教師將這三塊蛋糕分別分給前排的三個(gè)學(xué)生，教師提問(wèn)：“每個(gè)學(xué)生拿到全部蛋糕的幾分之幾？”學(xué)生們異口同聲地回答：“每個(gè)學(xué)生拿到全部蛋糕的五分之一。”教師在的右側(cè)寫(xiě)上。
教師提出探究性問(wèn)題：“請(qǐng)同學(xué)們?cè)囉脭?shù)學(xué)形式表示塊蛋糕的由來(lái)。”之后我們將全班學(xué)生分為若干討論小組進(jìn)行討論。在一番討論之后，第一組學(xué)生說(shuō)：“我們認(rèn)為由于老師從五塊蛋糕中拿出來(lái)的三塊是大小相同的，所以將三塊蛋糕分為三個(gè)學(xué)生的過(guò)程可以看作平均分配，可以看做除法的過(guò)程，可以用除法表示。”第二組學(xué)生說(shuō)：“我們的計(jì)算過(guò)程是這樣的，3÷3=1，每個(gè)學(xué)生得到一塊蛋糕，而每塊蛋糕占全部蛋糕的五分之一。所以得到。”第三組學(xué)生說(shuō)：“我們進(jìn)行了一次大膽的猜想，我們的計(jì)算過(guò)程為÷3=。因?yàn)樵谒闶街忻恳粋€(gè)分子1都來(lái)自同一塊蛋糕，所以我們認(rèn)為將三塊蛋糕平均分給三個(gè)學(xué)生的過(guò)程實(shí)際上是分子的變化過(guò)程，與分母無(wú)關(guān)。所以在計(jì)算中我們只需對(duì)分子進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而得到。”第三組學(xué)生說(shuō)得有理有據(jù)，具有一定的說(shuō)服力，我們給予該組學(xué)生表?yè)P(yáng)，并且以此為基礎(chǔ)引出“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分母不變，只做分子除法”的計(jì)算法則。
二、利用整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，引出顛倒相乘計(jì)算法
分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的第二個(gè)階段為整數(shù)除以分?jǐn)?shù)。在這個(gè)教學(xué)階段我們首次將分?jǐn)?shù)作為除數(shù)，做好這一階段的教學(xué)工作可以為“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”的教學(xué)埋下一個(gè)良好的伏筆。對(duì)于整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的教學(xué)我們同樣采用由淺入深的教學(xué)設(shè)計(jì)。首先我們以最簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)除法為敲門(mén)磚。我們?cè)诤诎迳蠈?xiě)下：“1÷”讓學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，并且說(shuō)出計(jì)算意義。仍以小組討論的方式。在約2分鐘的討論之后，第一組學(xué)生說(shuō)：“我們采用‘蛋糕模型’，1作為一個(gè)蛋糕，代表將1個(gè)蛋糕分成2份，每1份為整體的二分之一。所以我組的計(jì)算結(jié)果為2。”第二學(xué)生說(shuō)：“我們利用小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。=0.5，所以1÷=1÷0.5=2。”我們首先給予學(xué)生鼓勵(lì)。接下來(lái)我們?cè)诤诎迳蠈?xiě)下：2÷，仍然讓學(xué)生分組討論，但這一次的討論結(jié)果正如我們所料，學(xué)生紛紛表示不會(huì)計(jì)算。這時(shí)我們介入引導(dǎo)，我們拿出教學(xué)道具：一根兩米長(zhǎng)的繩子和一根一米長(zhǎng)的繩子。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考：“現(xiàn)在只要利用這根繩子我就可以計(jì)算出答案。”一些學(xué)生率先想到了計(jì)算方法，舉起手來(lái)。教師請(qǐng)一名學(xué)生上臺(tái)，并且輔助其完成計(jì)算。學(xué)生先將一米長(zhǎng)的繩子折成長(zhǎng)度相等的三段，剪去其中一段，以剩下的繩長(zhǎng)為單位測(cè)量?jī)擅组L(zhǎng)的繩子。結(jié)果發(fā)現(xiàn)2米長(zhǎng)的繩子中含有3個(gè)該繩長(zhǎng)。所以2÷=3。
由此我們總結(jié)分?jǐn)?shù)除法的意義為：在整體中包含多少個(gè)個(gè)體，與整數(shù)除法的意義相同，所以整數(shù)除法的運(yùn)算法則同樣適用于整數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算。在為學(xué)生打下分?jǐn)?shù)除法的概念基礎(chǔ)后，接下來(lái)的教學(xué)任務(wù)就迎刃而解了。我們出題：4÷，這一次我們引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)除法的一般規(guī)律。設(shè)4÷=x，根據(jù)除法的計(jì)算法則，我們可以將等號(hào)兩邊同時(shí)乘以變?yōu)?÷×=x×，所以4=x×。根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算法則×=1，我們同時(shí)在的等號(hào)兩邊乘以，得到4×=x××，所以x=4×。我們將計(jì)算前后的算式整合到一起，得到4÷=4×。學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)÷變成了×，除數(shù)的分子與分母發(fā)生了對(duì)調(diào)，這一現(xiàn)象十分有趣。學(xué)生迫不及待地想要試一試自己解題，我們給出幾道例題：1÷，4÷，3÷在計(jì)算過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在練習(xí)中的情緒十分積極，而且覺(jué)得這種變化十分好玩，形成興趣學(xué)習(xí)氛圍。之后我們又給出之前做過(guò)的分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算式÷3，經(jīng)過(guò)變形后得到×=，與之前的計(jì)算結(jié)果相符。根據(jù)除法的意義該該算式進(jìn)行解釋：取分份蛋糕的，也與蛋糕分配過(guò)程相符，說(shuō)明分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算公式通用。由此我們可以總結(jié)：整數(shù)除以分?jǐn)?shù)時(shí)，計(jì)算法則為“顛倒相乘”。
三、利用分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，掌握分?jǐn)?shù)除法一般性
分?jǐn)?shù)除法的最后一個(gè)教學(xué)內(nèi)容為分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)。以分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)為基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)也變得沒(méi)有那么難了。首先我們?cè)诮虒W(xué)中為學(xué)生證明在分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)中分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算法則同樣有效。我們首先來(lái)舉一個(gè)小例子。例題：以一班總?cè)藬?shù)為標(biāo)準(zhǔn)，二班男生數(shù)量是一班總?cè)藬?shù)的，二班女生數(shù)量是一班總?cè)藬?shù)的，問(wèn)二班男女學(xué)生比例為多少。解題：我們?cè)O(shè)一班總?cè)藬?shù)為“1”，那么二班男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，那么男女生比例為：，即÷。
利用上文總結(jié)的分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算法則得到÷=×==21：10。為了驗(yàn)證這一結(jié)果是否正確我們假設(shè)一班總?cè)藬?shù)為70人，帶入得二班男生人數(shù)為42人，女生人數(shù)為20人，二班男女學(xué)生比為42：20=21：10。與分?jǐn)?shù)除法計(jì)算結(jié)果相同，說(shuō)明分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的除法適用分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算法則，即顛倒相乘。為了進(jìn)一步驗(yàn)證分?jǐn)?shù)除法法則的一般性，我們讓學(xué)生解析例題÷。除法意義：中含有幾個(gè)，因?yàn)椤?=，所以結(jié)果顯然為3個(gè)。研究過(guò)程：設(shè)÷=x，÷×=x×，=x×，×4=x××4，結(jié)果為3=x，與結(jié)論相符，說(shuō)明顛倒相乘在分?jǐn)?shù)除法中具有一般性。最后我們開(kāi)展習(xí)題訓(xùn)練，練習(xí)中要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)“顛倒相乘”的理解，復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法以及約分。
（延邊教育出版社理科編輯室，吉林延吉133000）
摘要：本文對(duì)人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)中“分?jǐn)?shù)與小數(shù)”部分在概念的教學(xué)以及教材結(jié)構(gòu)方面存在的問(wèn)題進(jìn)行了分析，并在此基礎(chǔ)上，從數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)和教材編寫(xiě)的角度，對(duì)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的教學(xué)提出一些有針對(duì)性的建議，進(jìn)而對(duì)教材中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提出一些想法，力求使“分?jǐn)?shù)與小數(shù)”內(nèi)容教學(xué)更加科學(xué)，并對(duì)進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)教科書(shū)的功能提供參考。
關(guān)鍵詞：小學(xué)；數(shù)學(xué)教科書(shū)；分?jǐn)?shù)；小數(shù)
作者簡(jiǎn)介：嚴(yán)今石（1971-），女，副編審，碩士，從事數(shù)學(xué)教材的翻譯、編寫(xiě)和研究工作。
一、引言
分?jǐn)?shù)歷來(lái)是在小學(xué)數(shù)學(xué)中既不易“教”也不易“學(xué)”的內(nèi)容。盡管教科書(shū)中對(duì)分?jǐn)?shù)的三種含義都提到了，但教育反饋的結(jié)果表明，大部分學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)完分?jǐn)?shù)之后，對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)還停留在其“份數(shù)”定義，而且并不了解小數(shù)、分?jǐn)?shù)、比的含義。這直接導(dǎo)致應(yīng)用這些概念去解決問(wèn)題帶來(lái)困難。因而，對(duì)目前教材中“分?jǐn)?shù)與小數(shù)”內(nèi)容的編寫(xiě)以及教材中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)進(jìn)行反思，針對(duì)不足提出編寫(xiě)建議，就顯得尤為迫切和必要。本文試從“分?jǐn)?shù)與小數(shù)的意義”的教學(xué)和“教材編寫(xiě)”兩個(gè)方面對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中概念教學(xué)進(jìn)行探討。
二、問(wèn)題的提出
1.在引入小數(shù)概念中存在的問(wèn)題。人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)中，對(duì)“小數(shù)”概念是通過(guò)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)來(lái)建立的，通過(guò)舉例的方式，隨即進(jìn)行歸納，直接提出概念。如通過(guò)例子[1]，“把1 米平均分成10份，每份是1分米。1分米是1/10米，還可以寫(xiě)成0.1米。把1米平均分成100份，每份是1厘米。1厘米是1/100米，還可以寫(xiě)成0.01米”，來(lái)說(shuō)明小數(shù)的意義，使學(xué)生知道“分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示”的事實(shí)。這里又是借助長(zhǎng)度單位，又是利用分?jǐn)?shù)的意義，說(shuō)的過(guò)于復(fù)雜。
實(shí)際意圖是想闡述“1/10還可以寫(xiě)成0.1，1/100還可以寫(xiě)成0.01”的規(guī)定，但最終還是沒(méi)有講清楚“十進(jìn)分?jǐn)?shù)為什么可以用小數(shù)來(lái)表示”的道理。這樣做，也許是因?yàn)榭紤]到這個(gè)年齡段孩子們的認(rèn)知能力，但這樣的定義方法就導(dǎo)致學(xué)生可能僅僅知道小數(shù)概念的外延，而無(wú)法理解引入小數(shù)概念的必要性，不能深刻地認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)。教材除了在教學(xué)小數(shù)意義時(shí)，借助計(jì)量單位的十進(jìn)關(guān)系（如長(zhǎng)度單位）來(lái)幫助學(xué)生理解外，講小數(shù)的性質(zhì)以及在練習(xí)中也安排了很多根據(jù)十進(jìn)制計(jì)量單位理解小數(shù)的實(shí)際意義的練習(xí)。其實(shí)，小數(shù)意義的理解要涉及到十進(jìn)分?jǐn)?shù)，雖然教科書(shū)中在前面安排了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”[2]，但是由于在初步認(rèn)識(shí)階段，對(duì)這些知識(shí)的介紹如“蜻蜓點(diǎn)水”、“一帶而過(guò)”，學(xué)生實(shí)際上對(duì)“分?jǐn)?shù)”的認(rèn)識(shí)很模糊，對(duì)小數(shù)教學(xué)來(lái)說(shuō)，對(duì)“什么叫分?jǐn)?shù)”還沒(méi)弄清楚，所以對(duì)用它來(lái)定義的小數(shù)就不易理解了。
2.分?jǐn)?shù)內(nèi)容教學(xué)中存在的問(wèn)題。分?jǐn)?shù)是小學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，而分?jǐn)?shù)內(nèi)容的教學(xué)效果一直不太理想。原因何在？我想主要是因?yàn)闆](méi)有幫助學(xué)生弄清基本概念，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)中的核心問(wèn)題，對(duì)它的理解和掌握，關(guān)系到學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和邏輯思維能力的培養(yǎng)。事實(shí)上，概念本身有自己嚴(yán)密的邏輯體系。在一定條件下，一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。另一方面，概念作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的術(shù)語(yǔ)，也是由于人們認(rèn)識(shí)的不斷深化而不斷發(fā)展變化的。例如，分?jǐn)?shù)定義，按人們認(rèn)識(shí)發(fā)展的順序，一般有四種情況。分別是份數(shù)定義、商定義、比定義和公理化定義[3]。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)“分?jǐn)?shù)”內(nèi)容，教科書(shū)上沒(méi)有處理好分?jǐn)?shù)概念教學(xué)的發(fā)展性和階段性之間的矛盾。
考慮到小學(xué)生的接受能力，結(jié)合兒童認(rèn)識(shí)事物的特點(diǎn)，小學(xué)教科書(shū)中側(cè)重從分?jǐn)?shù)的“份數(shù)定義”[4]、“商定義”[4]、“比定義”[5]這三個(gè)層次，分階段引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，運(yùn)用分?jǐn)?shù)。但是，教科書(shū)中存在從“份數(shù)定義”向“商定義”和“比定義”過(guò)渡過(guò)程中處理不夠到位、歸納不完整等一些問(wèn)題，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)。
如教科書(shū)中，通過(guò)樣例1和樣例2來(lái)總結(jié)出“分?jǐn)?shù)與除法的互逆關(guān)系”，可是例1和例2都是關(guān)于等分物體的題，只能代表得出的結(jié)論對(duì)“等分除法”成立，而對(duì)除法的另一種實(shí)際應(yīng)用“包含除法”能否成立還得經(jīng)過(guò)驗(yàn)證。然而，教材中不僅避開(kāi)了這種情況的討論，在接下來(lái)講的例3（正好是“包含除法”題）里反而用上了此結(jié)論，而得出了另一個(gè)結(jié)論：“求一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾，可以用除法計(jì)算。[4]”對(duì)這樣的解釋，學(xué)生只能認(rèn)可而無(wú)法理解。這直接導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系”的了解只是停留在表面，沒(méi)有從根本上知道其內(nèi)涵，更不能作為分?jǐn)?shù)意義的進(jìn)一步擴(kuò)展來(lái)理解。這不但局限了分?jǐn)?shù)的價(jià)值，還給學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題造成阻礙。
三、對(duì)“小數(shù)”與“分?jǐn)?shù)”數(shù)學(xué)本質(zhì)的分析
1“。 小數(shù)”的本質(zhì)。目前，教材一般都從小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系著手，利用分?jǐn)?shù)來(lái)定義小數(shù)。從小數(shù)與分?jǐn)?shù)的關(guān)系來(lái)看，小數(shù)確實(shí)是分?jǐn)?shù)的一種，十進(jìn)分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成小數(shù)形式，但它并不是小數(shù)的本質(zhì)。從“數(shù)系的擴(kuò)展”角度來(lái)看，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的引入都是計(jì)數(shù)單位的擴(kuò)展，即測(cè)量和計(jì)算以及分物時(shí)不能得到整數(shù)的結(jié)果，就得用更小的計(jì)數(shù)單位來(lái)表示和測(cè)量。其中，從整數(shù)擴(kuò)展成小數(shù)的具體依據(jù)是“十進(jìn)位值制記數(shù)原則”。在整數(shù)學(xué)習(xí)中，計(jì)數(shù)單位的擴(kuò)展，尤其是“位值”概念的建立，而且“十進(jìn)制計(jì)數(shù)”，為在建立小數(shù)概念、小數(shù)大小比較以及小數(shù)的運(yùn)算等方面進(jìn)行知識(shí)遷移提供了基礎(chǔ)。因此，小數(shù)的本質(zhì)在于“十進(jìn)位值制記數(shù)法”。
2“。 分?jǐn)?shù)”的本質(zhì)。事實(shí)上，分?jǐn)?shù)是從兩種實(shí)際意義中產(chǎn)生的，因而具有兩種具體意義。一種是由測(cè)量而產(chǎn)生（對(duì)應(yīng)的除法為“包含除法”），另一種是由分物體而產(chǎn)生（對(duì)應(yīng)的除法為“等分除法”），還有在理論層面上是由數(shù)學(xué)發(fā)展的需要而產(chǎn)生的（即除法運(yùn)算得不到整數(shù)的結(jié)果時(shí)需要用新的數(shù)來(lái)表示）。分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于“能夠表示不能整除情形下平均分以后得到的那個(gè)結(jié)果的大小”，即a能整除b（a，b都是自然數(shù)，a≠0）時(shí)，其商是整數(shù)；不能整除時(shí)，其商就是新的數(shù)，我們稱它為分?jǐn)?shù)。因此，分?jǐn)?shù)的明確定義，就是兩個(gè)自然數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。因而，分?jǐn)?shù)教學(xué)就需要盡快從“份數(shù)定義”過(guò)渡到“商定義”。所謂“份數(shù)”定義只是初步認(rèn)識(shí)時(shí)的過(guò)渡說(shuō)法，至于“比”定義則是商定義的引申，其價(jià)值在于可用它來(lái)定量研究?jī)蓚€(gè)以上事物在量方面的結(jié)構(gòu)關(guān)系。
四、對(duì)“小數(shù)”定義的對(duì)策和對(duì)“分?jǐn)?shù)”定義及其教學(xué)的建議
1.對(duì)“小數(shù)”定義的對(duì)策。基于前面所提到的問(wèn)題和以上的探討，筆者認(rèn)為可以將整數(shù)中十進(jìn)制計(jì)數(shù)、位值概念的建立等基本構(gòu)造思想和擴(kuò)展長(zhǎng)度單位時(shí)所用過(guò)的定義方法遷移過(guò)來(lái)定義小數(shù)。即當(dāng)要表示不是整數(shù)的數(shù)值時(shí)，也可以用“把原來(lái)計(jì)數(shù)單位1平均分成10份后得到的每份”來(lái)計(jì)數(shù)。這個(gè)新的計(jì)數(shù)單位用“0.1”來(lái)表示，并讀作“零點(diǎn)一”，依此類推就可以得到0.01，0.001，……等其他小數(shù)單位。
這樣，避開(kāi)分?jǐn)?shù)來(lái)定義小數(shù)對(duì)“分?jǐn)?shù)”教學(xué)也有好處。因?yàn)榻炭茣?shū)中將“分?jǐn)?shù)”的初步認(rèn)識(shí)安排在三年級(jí)上冊(cè)，其目的就是為了建立小數(shù)概念，然后分?jǐn)?shù)的系統(tǒng)教學(xué)是安排在五年級(jí)下冊(cè)里。這樣由于兩個(gè)階段相距時(shí)間較長(zhǎng)（正好兩年半），給學(xué)生的理解和記憶造成了一定困難。此外，由于分?jǐn)?shù)的“產(chǎn)生和含義”都放在了第二階段上，所以系統(tǒng)學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)了不必要的重復(fù)。對(duì)概念下定義的過(guò)程，是對(duì)概念本質(zhì)特征的一種歸納鞏固過(guò)程。對(duì)于抽象的概念，過(guò)早的下定義，等于是索然無(wú)味的簡(jiǎn)單灌輸，但定義下得太遲，又使學(xué)生的已有知識(shí)呈現(xiàn)零亂狀態(tài)，不能及時(shí)地整理和總結(jié)，更不利于概念的定型化。
2.對(duì)“分?jǐn)?shù)”定義及其教學(xué)的建議。筆者認(rèn)為，關(guān)于“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，既要重視概念的階段性，又要注意到概念發(fā)展的連續(xù)性，要有計(jì)劃地發(fā)展概念的含義，按階段發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力。因此，建議強(qiáng)調(diào)“分?jǐn)?shù)與除法的等價(jià)性”，講解更透徹一點(diǎn)，使學(xué)生真正認(rèn)識(shí)到“分?jǐn)?shù)與除法可以互逆，可以看作同一種運(yùn)算”。對(duì)上面提出的問(wèn)題，把例3改成“10只是7只的幾倍？”和“7只是10只的幾分之幾？”的兩個(gè)小題來(lái)，說(shuō)明“分?jǐn)?shù)與除法的等價(jià)性”對(duì)包含除法也成立，至于“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，可以用除法計(jì)算”的道理，可以利用它們之間的對(duì)稱關(guān)系來(lái)解釋如下：“求10只是7只的幾倍，就是求10里包含多少個(gè)7，所以要算10÷7得多少”。同樣，“求7只是10只的幾分之幾，就是求7里包含多少個(gè)10，這里因?yàn)?比10小，不能把整個(gè)10都包含，但可以包含10的一部分，所以要算7÷10得多少”，在這基礎(chǔ)上對(duì)除法的兩種情況進(jìn)行全面地歸納，得出結(jié)論才符合邏輯，學(xué)生也可以接受。而對(duì)數(shù)學(xué)概念不注重引入，只是簡(jiǎn)單舉個(gè)例子，找出規(guī)律，將概念直接提出來(lái)的做法是不科學(xué)的，不利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。
五、結(jié)束語(yǔ)
在小學(xué)階段，分?jǐn)?shù)與小數(shù)概念是非常重要的數(shù)概念，由于分?jǐn)?shù)與自然數(shù)有著較大的差異，學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)概念比較困難，如果教科書(shū)中只是給出了抽象的定義，學(xué)生即便是了解了分?jǐn)?shù)和小數(shù)的外延，也不一定懂它們的本質(zhì)，對(duì)分?jǐn)?shù)概念的產(chǎn)生、發(fā)展、延伸、變化，更沒(méi)有清楚的認(rèn)識(shí)。因而，在編寫(xiě)教材時(shí)，不妨去對(duì)潛藏在分?jǐn)?shù)與小數(shù)概念中的思想作充分的分析，使得學(xué)生掌握概念最核心、最本質(zhì)的特征。這樣，能通過(guò)概念教學(xué)，讓學(xué)生把握分?jǐn)?shù)與小數(shù)的本質(zhì)，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)思想，從而使得分?jǐn)?shù)與小數(shù)的教學(xué)取得更好的效果。
[1]課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心。義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)三年級(jí)（下冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[2]課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心。義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)三年級(jí)（上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2007.
[3]張奠宙“。 談小學(xué)數(shù)學(xué)本質(zhì)”[J].人民教育，2009，（2 ）。
[4]課程教材研究所，小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心。義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)五年級(jí)（下冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2009.
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分?jǐn)?shù)與除法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是較難為學(xué)生所理解的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，這部分內(nèi)容承接了之前有關(guān)分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)單位等知識(shí)，進(jìn)一步要求學(xué)生了解分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系內(nèi)涵，并能夠根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系掌握如何計(jì)算一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾的實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生在真正掌握了這部分內(nèi)容后，能夠進(jìn)一步了解分?jǐn)?shù)的意義，也能夠?yàn)榻窈髮W(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化等知識(shí)做好鋪墊。根據(jù)具體教學(xué)內(nèi)容，我們可以確定以下教學(xué)目標(biāo)：（1）引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，了解一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)的計(jì)算法則，學(xué)會(huì)用分?jǐn)?shù)表示兩個(gè)數(shù)相除的商［2］。（2）通過(guò)實(shí)際教學(xué)道具操作，使學(xué)生理解”3”的1/4就3/4。培養(yǎng)學(xué)生的分析、推理能力。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：“3”的“1/4”與“1”的“3/4”的含義。另外，還要準(zhǔn)備相應(yīng)的教學(xué)道具，如圓形紙板和繩子等，具體直觀的為學(xué)生演示除法計(jì)算的具體過(guò)程。二、重點(diǎn)對(duì)教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)進(jìn)行分析
（1）從簡(jiǎn)入難的引入問(wèn)題：利用課件出示一塊餅，提問(wèn)：把這一個(gè)月餅平均分給四個(gè)人，每個(gè)人能分到多少？引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出每份是四分之一塊，板書(shū)出“1÷4“和“1/4”，并讓學(xué)生重點(diǎn)了解除法算式和分?jǐn)?shù)表示的區(qū)別。繼續(xù)提問(wèn)：這里的“1/4”是把誰(shuí)看做了那個(gè)整體“1”?小組討論，分析，回答問(wèn)題。讓大家觀察板書(shū)，概括分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，分母相當(dāng)于除法中的除數(shù)。明白除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)則是具體的數(shù)量。
（2）提出進(jìn)一步的問(wèn)題：如果如果把3個(gè)月餅平均分成4份，每份是這些月餅的四分之一，每一份是多少塊？提問(wèn)，板書(shū)出算式：“3÷4”。拿出圓形紙板，以小組為單位，每組四張，讓學(xué)生親自剪一剪，再拼到一起看一看，看看結(jié)果到底是什么？小組合作，交流，提問(wèn)，幾種分法，每個(gè)人能分多少？學(xué)生回答并用紙板演示過(guò)程：第一種分法：按照3個(gè)月餅，均分4份，每人一份，把每個(gè)圓形紙板各分為4等份，然后每個(gè)紙板拿其中的一份，三份拼到一起，再與完整的紙板對(duì)比，是完整紙板的3/4。第二種分法：把三張圓形紙板疊放到一起，同時(shí)剪成4等份，拿出其中重疊的一份，拼到一起，再與完整的紙板對(duì)比，占完整紙板的3/4。對(duì)兩種方法做出比較，將兩種方法下的紙板拼接好，放到一起進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)是一樣大的，都是整塊紙板的3/4，也就是說(shuō)，每人能分到3/4個(gè)餅。
（3）帶領(lǐng)學(xué)生一起歸納總結(jié)兩種分法的區(qū)別與聯(lián)系，概括分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。讓學(xué)生們明白，按照兩種不同的分法，3個(gè)月餅的1/4就是3/4個(gè)餅，而1個(gè)月餅的3/4也是3/4個(gè)餅，即：“3”的“1/4”與“1”的“3/4”相等。使學(xué)生體會(huì)到分?jǐn)?shù)的表示具體數(shù)量的含義。
（4）提出問(wèn)題，如：小明3/5小時(shí)走了1千米，計(jì)算他1小時(shí)走了多少千米？板書(shū)算式“1÷3/5”討論計(jì)算方法，總結(jié)計(jì)算法則。即：一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于這個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。
（5）課堂內(nèi)容結(jié)束時(shí)進(jìn)行總結(jié)，鞏固練習(xí)，課后拓展和延伸：利用實(shí)際生活中的各種分?jǐn)?shù)和除法問(wèn)題，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行多個(gè)具體問(wèn)題的分析計(jì)算，例如，可以利用班上的學(xué)生人數(shù)進(jìn)行分組，讓大家自由提出問(wèn)題并解決問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生的理解能力和解決問(wèn)題的能力。課堂內(nèi)容結(jié)束后，為學(xué)生布置適量的課后鞏固練習(xí)，并鼓勵(lì)大家思考一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，如果這個(gè)數(shù)是分?jǐn)?shù)而不是整數(shù)怎樣計(jì)算［3］。三、小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)總結(jié)
1 教學(xué)的方式方法方面：（1）從事教學(xué)工作的教師要具備足夠的耐心和責(zé)任心，認(rèn)真進(jìn)行備課及課堂教學(xué)。（2）在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)盡可能多的增加直觀演示，利用各種教學(xué)道具，課件，圖片等直觀的對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行演示。（3）在進(jìn)行新知識(shí)內(nèi)容的講解時(shí)，要合理的提出疑問(wèn)，巧妙的進(jìn)行引導(dǎo)，結(jié)束講解時(shí)要及時(shí)全面的對(duì)所有知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，帶領(lǐng)學(xué)生梳理知識(shí)脈絡(luò)［4］。
一、教學(xué)目標(biāo)：
1、理解比的意義，掌握比的讀法和寫(xiě)法，認(rèn)識(shí)比的各部分名稱。
2、掌握求比值的方法，并能正確求出比的比值。
3、培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括能力。
二、教學(xué)重點(diǎn)：
理解比的意義，掌握求比值的方法。
三、教學(xué)難點(diǎn)：
理解比的意義，建立比的概念。
四、教學(xué)過(guò)程：
一、談話引入
在日常生活和和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，常常需要對(duì)兩個(gè)數(shù)量進(jìn)行比較。比較的方法我們已經(jīng)學(xué)過(guò)兩種（比較兩個(gè)數(shù)量之間相差關(guān)系用減法；比較兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系用除法），今天我們學(xué)習(xí)一種新的比較方法，叫做比。（板書(shū)：比的意義）
二、講授新課
（一）比的意義
1、出示例題：一面紅旗，長(zhǎng)3分米，寬2分米。長(zhǎng)是寬的幾倍？寬是長(zhǎng)的幾分之幾？
板書(shū)：3÷2＝ ＝
2÷3＝
（1）3÷2表示什么？長(zhǎng)是寬的幾倍也可以說(shuō)成誰(shuí)和誰(shuí)在比？是幾比幾？長(zhǎng)和寬的比是3比2表示什么？
（2）2÷3表示什么？寬是長(zhǎng)的幾分之幾也可以說(shuō)成是誰(shuí)和誰(shuí)在比？是幾比幾？寬和長(zhǎng)的比是2比3表示什么？
小結(jié)：
a、長(zhǎng)是寬的幾倍，有時(shí)也可以說(shuō)成長(zhǎng)和寬的比是幾比幾；寬是長(zhǎng)的幾分之幾，有時(shí)也可以說(shuō)成寬和長(zhǎng)的比是幾比幾。
b、3分米和2分米都表示長(zhǎng)度，它們是同一種量，我們就說(shuō)這兩個(gè)量的比是同類量的比。
（3）練習(xí)：有5個(gè)紅球和10個(gè)白球，求紅球是白球的幾分之幾，怎么算？也可以怎么說(shuō)？求白球是紅球的幾倍，怎么算？也可以怎么說(shuō)？
通過(guò)上面的例子，可以看出：比較兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)，可以用兩個(gè)數(shù)相除的方法，有時(shí)也可以說(shuō)成這兩個(gè)數(shù)的比是幾比幾。
2、出示例題（擴(kuò)展比的概念，進(jìn)一步理解比的意義）
一輛汽車(chē)，2小時(shí)行駛100千米，每小時(shí)行駛多少千米？
（1）求的是什么？誰(shuí)除以誰(shuí)？也就是誰(shuí)和誰(shuí)進(jìn)行比較？
（2）汽車(chē)行駛路程和時(shí)間的比是100比2表示什么？
（3）思考：?jiǎn)蝺r(jià)可以說(shuō)成是誰(shuí)和誰(shuí)的比？
工作效率可以說(shuō)成是誰(shuí)和誰(shuí)的比？
商可以說(shuō)成是誰(shuí)和誰(shuí)的比？
（4）小結(jié)：通過(guò)剛才的例子可以看出，用表示兩種數(shù)量的數(shù)相除，可以得到新的量，這個(gè)新的量也可以用兩個(gè)數(shù)的比來(lái)表示，我們就說(shuō)這兩個(gè)量的比是不同類量的比。
3、歸納總結(jié)
板書(shū)：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。
4、練習(xí)、
（1）學(xué)校里有10棵楊樹(shù)，7棵柳樹(shù)，楊樹(shù)和柳樹(shù)棵數(shù)的比是（
），柳樹(shù)和楊樹(shù)棵樹(shù)的比是（ ）
（2）小華用2分鐘口算了50道題，小華口算的題量和所用時(shí)間的比是（ ）。
（3）學(xué)校食堂買(mǎi)20千克青菜，用了10元錢(qián)；買(mǎi)了30千克蘿卜，用了42元錢(qián)；買(mǎi)蘿卜和青菜數(shù)量的比是（ ），青菜和蘿卜單價(jià)的比是（ ）。
（二）比的各部分名稱和求比值的方法（演示課件“比的意義”）下載
1、兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比，說(shuō)法變了，書(shū)寫(xiě)格式和名稱也就變了。
例如： 3比2
記作：3∶2
2比3
記作：2∶3
100比2
記作：100 ∶ 2
“∶”叫做比號(hào)，讀作比（比號(hào)在兩個(gè)數(shù)中間，注意與語(yǔ)文中的冒號(hào)區(qū)別），比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。
（三）、比、除法、分?jǐn)?shù)之間的關(guān)系（演示課件“比、除法、分?jǐn)?shù)的異同”）下載
提問(wèn)：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比，比和除法到底有什么關(guān)系？
學(xué)生觀察板書(shū)，小組討論。
生：比的前項(xiàng)相當(dāng)于除法中的被除數(shù)，比號(hào)相當(dāng)于除法中的除號(hào)，比的后項(xiàng)相當(dāng)于除法中的除數(shù)，比值相當(dāng)于除法中的商
提問(wèn)：（1）為什么要用“相當(dāng)于”這個(gè)詞？能不能用“是”？（比與除法既有聯(lián)系，也有區(qū)別，除法是一種運(yùn)算，比則表示兩個(gè)數(shù)之間相除的關(guān)系，所以只能用“相當(dāng)于”這個(gè)詞）
（2）在除法中，除數(shù)不能是零，那比的后項(xiàng)呢？
師：比還有一種表示方法，就是分?jǐn)?shù)形式。例如：
板書(shū)：3 ∶ 2可以寫(xiě)成 ，仍讀作“3比2”
2 ∶ 3可以寫(xiě)成 ，仍讀作“2比3”
提問(wèn)：比和分?jǐn)?shù)有什么關(guān)系？
生：：比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，比號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線，比的后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。
三、鞏固練習(xí)
1、填空
兩輛汽車(chē)，甲車(chē)4小時(shí)行駛200千米，乙車(chē)3小時(shí)行駛180千米
甲車(chē)的速度可以說(shuō)成（ ）和（ ）的比，是（ ）∶（ ），比值是（ ）。
乙車(chē)的速度可以說(shuō)成（ ）和（ ）的比，是（ ）∶（ ），比值是（ ）。
甲、乙兩車(chē)所行路程的比是（ ）
甲、乙兩車(chē)所用時(shí)間的比是（ ）
甲、乙兩車(chē)所行速度的比是（ ）
2、選擇
(1) 大卡車(chē)載重量是5噸，小卡車(chē)載重量是2噸，大小卡車(chē)的載重量比是 。（ ）
（2）如果a是b的3倍，那么a和b的比是1∶3。（ ）
（3）小強(qiáng)的身高是1米，爸爸的身高是173厘米，小強(qiáng)和爸爸身高的比是1∶173。（ ）
3、思考題：
（1）甲乙兩隊(duì)比賽結(jié)果是3 ∶ 2，是指這節(jié)課所學(xué)的比嗎？
（2）根據(jù)男、女生人數(shù)的比是4∶5，你可以知道男女生的具體人數(shù)嗎？
4、一臺(tái)機(jī)器上有大小兩個(gè)齒輪，大齒輪有100個(gè)齒，每分鐘25轉(zhuǎn)；小齒輪有40個(gè)齒，每分鐘120轉(zhuǎn)。根據(jù)所給條件，你可以寫(xiě)出哪些比？
四、課堂小結(jié)
今天這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？比和除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系是什么？區(qū)別呢？
五、課后作業(yè)：
一、動(dòng)、靜交替，講、練結(jié)合，優(yōu)化課堂教學(xué)
根據(jù)小學(xué)生的心理特點(diǎn)和認(rèn)知水平，在教學(xué)中，通過(guò)動(dòng)、靜交替，講、練結(jié)合，調(diào)動(dòng)學(xué)生多種感官參于學(xué)習(xí)，使學(xué)生的大腦始終保持興奮狀態(tài)，這樣，有利于課堂教學(xué)的優(yōu)化。
例如，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的意義”這一內(nèi)容時(shí)，可先讓學(xué)生把一張正方形的紙對(duì)折，平均分成2份、4份、8份；把一個(gè)蘋(píng)果平均分成2份、4份；把一個(gè)圓平均分成3份、6份；把一條線段平均分成5份，全國(guó)公務(wù)員共同天地、10份；……在操作中，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)“一個(gè)整體”、“平均分”、“每一份占總份數(shù)的幾分之幾”的意義。在以上操作的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生結(jié)合自己的操作完成以下填空練習(xí)：
1、把一個(gè)蘋(píng)果平均分成2份，每份占這個(gè)蘋(píng)果的（），單位“1”是（）。
2、把一個(gè)圓平均分成3份、6份，每份分別是這個(gè)圓的（）、（）。
3、把一條線段平均分成5份、10份，每份分別是這條線段的（）、（），單位“1”是（）。
教師在教學(xué)中著重講清單位“1”和自然數(shù)“1”的不同之處：分?jǐn)?shù)中的單位“1”可表示一個(gè)物品，也可表示一個(gè)整體，如一個(gè)蘋(píng)果、一堆沙子、一個(gè)班集體、一件工程等，被分的那個(gè)整體被看作單位“1”。再通過(guò)“平均分”和“不平均分”的比較，強(qiáng)調(diào)“平均分”的意義。通過(guò)以上操作、練習(xí)、講解，使學(xué)生對(duì)“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)”這一定義有較為深刻、準(zhǔn)確的理解。，全國(guó)公務(wù)員共同天地
二、通過(guò)知識(shí)遷移，溝通新、舊知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生靈活解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力
小學(xué)數(shù)學(xué)是一個(gè)多層次、多方面的知識(shí)體系。運(yùn)用知識(shí)的遷移規(guī)律，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)、解決新問(wèn)題。要做到這一點(diǎn)，教師必須深入鉆研教材，溝通新、舊知識(shí)間的聯(lián)系，對(duì)知識(shí)進(jìn)行類化，使之有利于知識(shí)的遷移，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)靈活解答問(wèn)題的能力。
例如，除法、分?jǐn)?shù)、比是三個(gè)既有聯(lián)系、又有區(qū)別的概念。通過(guò)知識(shí)的遷移，既有利于學(xué)生掌握新知識(shí)，又使學(xué)生弄清這幾個(gè)概念之間的異同：雖然“比”的前項(xiàng)相當(dāng)于除法中的被除數(shù)、分?jǐn)?shù)中的分子，后項(xiàng)相當(dāng)于除法中的除數(shù)、分?jǐn)?shù)中的分母，“：”相當(dāng)于除法中的除號(hào)、分?jǐn)?shù)中的分?jǐn)?shù)線，它們都可表示兩數(shù)相除的關(guān)系，但除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，“比”既可表示同類量之間的相除關(guān)系，也可表示不同類量之間的相除關(guān)系。根據(jù)三者之間的聯(lián)系，在解這三類應(yīng)用題時(shí)，通過(guò)靈活轉(zhuǎn)換，化難為易，提高學(xué)生解答應(yīng)用題的能力。例如，在教學(xué)“把一種農(nóng)藥和水按照1∶2500配成藥水。在1000千克的水中，應(yīng)放這種農(nóng)藥多少千克”這道題時(shí)），可用比、分?jǐn)?shù)、除法三種方法解答：
用比例方法解：1∶2500＝x∶1000x＝0．4
用分?jǐn)?shù)方法解：1000×（12500）＝0．4（千克）
展
【中圖分類號(hào)】 G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A
【文章編號(hào)】 1004―0463（2016）02―0124―01
分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是一個(gè)龐大的體系，而分?jǐn)?shù)又是一個(gè)很抽象、很復(fù)雜的概念，學(xué)生理解起來(lái)比較困難。如果這部分內(nèi)容就教材學(xué)教材，學(xué)生所掌握的知識(shí)是零散的，無(wú)法建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，解題時(shí)漏洞百出，以至于對(duì)后續(xù)“百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用”以及“按比例分配”等知識(shí)的學(xué)習(xí)都會(huì)有一定的影響。筆者認(rèn)為，針對(duì)教材編排特點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)的實(shí)際情況，教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)在“梳理、建模、拓展”這三個(gè)方面下功夫。
一、梳理知識(shí)
學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法和分?jǐn)?shù)除法的相關(guān)知識(shí)時(shí)，一定要讓學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)梳理知識(shí)的習(xí)慣，要鼓勵(lì)他們把整單元知識(shí)中每一個(gè)課時(shí)中的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，串成一條知識(shí)鏈。例如，分?jǐn)?shù)除法中第一課時(shí)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”圍繞平均除闡述了分?jǐn)?shù)除法的意義和計(jì)算方法，第二課時(shí)，一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)。圍繞包含除闡述了分?jǐn)?shù)除法的意義和計(jì)算方法。除法中不論平均除還是包含除都是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算，因此，學(xué)完這兩課時(shí)內(nèi)容后，可以把分?jǐn)?shù)除法的意義串成一條鏈，總結(jié)為“已知兩個(gè)乘數(shù)的積與其中的一個(gè)乘數(shù)，求另一個(gè)乘數(shù)的運(yùn)算。”而分?jǐn)?shù)除法計(jì)算方法可概括為“甲數(shù)除以乙數(shù)（乙數(shù)不為0），就等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。”分?jǐn)?shù)乘除法的相關(guān)知識(shí)學(xué)完后，對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題應(yīng)該進(jìn)行整理與復(fù)習(xí)，通過(guò)對(duì)比，找出分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題的異同點(diǎn)，進(jìn)而正確解答。教師可設(shè)計(jì)對(duì)比性練習(xí)題組，讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)這部分內(nèi)容進(jìn)一步梳理。
例如，王大爺家養(yǎng)雞6只，鴨8只。（1）雞的只數(shù)是鴨的只數(shù)幾分之幾？（2）鴨的只數(shù)是雞只數(shù)的幾分之幾？學(xué)生得出答案后，可調(diào)換問(wèn)題和條件改編成以下4道練習(xí)題：
（1）王大爺家養(yǎng)鴨8只，雞是鴨的，問(wèn)雞有幾只？
（2）王大爺家養(yǎng)雞8只，雞是鴨的，問(wèn)鴨有幾只？
（3）王大爺家養(yǎng)雞6只，鴨是雞的，問(wèn)鴨有幾只？
（4）王大爺家養(yǎng)鴨6只，鴨是雞的，問(wèn)雞有幾只？
二、建構(gòu)模型
分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題都有固定的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，學(xué)習(xí)后，讓學(xué)生樹(shù)立模型思想，理解此類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，找到解決問(wèn)題的途徑。教材在分?jǐn)?shù)乘法（二）的試一試中安排了這樣一道分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的例題：同學(xué)們植樹(shù)，女生植了20棵，男生植的棵樹(shù)比女生多，男生比女生多植樹(shù)多少棵？這種“比”字結(jié)構(gòu)的分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題對(duì)于初學(xué)分?jǐn)?shù)乘法的學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定難度，教學(xué)時(shí)可進(jìn)行調(diào)整，改成“是”字結(jié)構(gòu)的問(wèn)題：同學(xué)們植樹(shù)，女生植了20棵，男生植樹(shù)的棵樹(shù)是女生的，男生植樹(shù)多少棵？”然后讓學(xué)生直接利用分?jǐn)?shù)乘法（二）中所學(xué)的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”解決問(wèn)題。接著解決課本中的例題，“男生比女生多植樹(shù)多少棵”實(shí)質(zhì)也是“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。在此基礎(chǔ)上，再把例題中的問(wèn)題“男生比女生多植樹(shù)多少棵？”改成“男生植樹(shù)多少棵？”通過(guò)線段圖分析，使學(xué)生明白“男生植樹(shù)的棵數(shù)=女生植樹(shù)棵數(shù)×（1+）”，實(shí)質(zhì)上還是求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。繼續(xù)改編，將例題中的“男生植樹(shù)的棵數(shù)比女生多”改成“男生植樹(shù)的棵數(shù)比女生少”，問(wèn)題還是“男生植樹(shù)多少棵？”學(xué)生通過(guò)循序漸進(jìn)地解決問(wèn)題，分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題的模型會(huì)一一儲(chǔ)存在大腦中，也能找到解決問(wèn)題的途徑。
三、合理拓展
學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法后，一定會(huì)理解分?jǐn)?shù)問(wèn)題的根源，即“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。具體解決問(wèn)題時(shí)，學(xué)生也能準(zhǔn)確進(jìn)行判斷。如果整體“1”表示的數(shù)量已知，直接利用“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”解決問(wèn)題；如果整體“1”表示的數(shù)量未知，就用具體的數(shù)量除以它所對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)，求出整體“1”的量。但是到此為止，學(xué)生解決問(wèn)題的能力還是停留在模仿階段，不能達(dá)到靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的層面。因此，筆者認(rèn)為，學(xué)生樹(shù)立模型思想的意識(shí)后，在模型基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展，能提高學(xué)生學(xué)以致用的能力和解決問(wèn)題的能力。筆者設(shè)計(jì)了下面的拓展練習(xí)：
小紅讀一本360頁(yè)的故事書(shū)，第一天讀了全書(shū)的，第二天讀了全書(shū)的，第三天剛好讀完，第三天讀了多少頁(yè)？
【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)；百分?jǐn)?shù)；解決問(wèn)題；教學(xué)
分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)知識(shí)，在日常生活和生產(chǎn)建設(shè)中有著廣泛的應(yīng)用，也是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，而這部分內(nèi)容歷來(lái)又是小學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。如何改進(jìn)并加強(qiáng)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題教學(xué)，提高教學(xué)效率，提高學(xué)生的分析能力，使學(xué)生能正確解決分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題，是我們小學(xué)數(shù)學(xué)老師要直面的問(wèn)題。
眾所周知，分?jǐn)?shù)問(wèn)題與百分?jǐn)?shù)問(wèn)題有著緊密的聯(lián)系，教學(xué)中如果我們抓住它們的聯(lián)系，可以使教學(xué)取得事半功倍的效果。在多年的教學(xué)實(shí)踐，使我對(duì)這一部分內(nèi)容的教學(xué)，有著自己的理解，也積累了一些方法和經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)在我想就分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題的教學(xué)談一下我的見(jiàn)解。
1重視分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題的教學(xué)
分?jǐn)?shù)乘法中解決問(wèn)題的分析方法，是分析分?jǐn)?shù)除法以及百分?jǐn)?shù)解決問(wèn)題的重要基礎(chǔ)，由于分?jǐn)?shù)乘法中的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”在乘法中屬于一種特殊的數(shù)量關(guān)系，又是分?jǐn)?shù)問(wèn)題的主要教學(xué)內(nèi)容，抓好這種特殊數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，可以大大提高學(xué)生分析、解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的能力，也為百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的解決打好基礎(chǔ)。為此，我們應(yīng)該做到以下幾點(diǎn)。
1.1抓好分?jǐn)?shù)乘法意義的教學(xué)，是解決分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題的基礎(chǔ)。
分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題的解決依據(jù)是分?jǐn)?shù)乘法的意義。分?jǐn)?shù)乘法的意義有兩種：一種與整數(shù)乘法的意義相同，即求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，如：
1.2抓住分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題的關(guān)鍵句，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析。
分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題中“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的解決方法是后面解決分?jǐn)?shù)除法、百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，學(xué)生必須掌握它的分析方法及解題技巧。如何才能讓學(xué)生把“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”這類問(wèn)題的解題技巧掌握好呢？我的做法是：重點(diǎn)讓學(xué)生分析關(guān)鍵句，根據(jù)關(guān)鍵句訓(xùn)練學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系。學(xué)生學(xué)會(huì)正確分析一道題的數(shù)量關(guān)系，就能正確列出算式解決問(wèn)題，而一道分?jǐn)?shù)問(wèn)題中的關(guān)鍵句往往是分析本題數(shù)量關(guān)系式的依據(jù)。
綜觀兩個(gè)例題的分析方法，不難看出共同點(diǎn)：第一，抓住了關(guān)鍵句進(jìn)行數(shù)量關(guān)系分析，第二，根據(jù)“分?jǐn)?shù)乘法的意義”得出等量關(guān)系式，從而解決分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題。經(jīng)常進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，學(xué)生就掌握了分?jǐn)?shù)問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的分析方法，也就能正確解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題了。
2突出分?jǐn)?shù)乘法與除法問(wèn)題分析方法的一致性
分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題的逆運(yùn)算，因此，分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題的分析，可以借助分?jǐn)?shù)乘法的分析方法。六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題的教學(xué)，主要解決“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”和稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題。它們分別與分?jǐn)?shù)乘法中“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”與稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，它們的數(shù)量關(guān)系相同，都可以同樣的分析方法來(lái)解決問(wèn)題。所以分?jǐn)?shù)除法問(wèn)題的分析方法應(yīng)與分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題的分析方法保持一致。
3百分?jǐn)?shù)問(wèn)題的教學(xué)要聯(lián)系分?jǐn)?shù)問(wèn)題的教學(xué)
我們知道百分?jǐn)?shù)是“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾”，與分?jǐn)?shù)中的“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾”是一樣的。因此，百分?jǐn)?shù)同分?jǐn)?shù)有緊密的聯(lián)系。教學(xué)中我們要緊緊抓住學(xué)生已有的分?jǐn)?shù)知識(shí)，從分?jǐn)?shù)進(jìn)入百分?jǐn)?shù)，這樣學(xué)生的學(xué)習(xí)就有了依據(jù)。
這樣的教學(xué)，注重了知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系的整理，處理好了局部知識(shí)與整體知識(shí)的關(guān)系，使學(xué)生的知識(shí)得到有機(jī)整合，減輕了學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，大大提高了教學(xué)效率。
教無(wú)定法。希望老師們充分發(fā)揮自己的聰明才智，積極探索新課標(biāo)下的教學(xué)改革，多動(dòng)腦筋，勤于思考，善于總結(jié)反思，探索有利于學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，這樣就能不斷提高教學(xué)效率，使自己逐步成為一位教學(xué)上的智者，甚至大師，在教學(xué)崗位上綻放出更耀眼的光芒！
參考文獻(xiàn)
[1]課程教材研究所、小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心編著，六年級(jí)上冊(cè)教師教學(xué)用書(shū)[M]，人民教育出版社出版，2007
20xx年小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)計(jì)劃書(shū)一、復(fù)習(xí)內(nèi)容
1. 分?jǐn)?shù)乘除法。
分?jǐn)?shù)乘、除法屬于分?jǐn)?shù)的基本知識(shí)和技能，而且兩者關(guān)系密切，教材將這兩部分內(nèi)容集中安排。教材首先通過(guò)一組題目，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)乘除法的關(guān)系，即分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算。同時(shí)對(duì)分?jǐn)?shù)乘除法的計(jì)算方法進(jìn)行了復(fù)習(xí)。比的相關(guān)概念、倒數(shù)的概念和計(jì)算、比的性質(zhì)、比與分?jǐn)?shù)及除法的關(guān)系等也是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，教材通過(guò)總復(fù)習(xí)的第2題和練十七的第3、4、5題進(jìn)行了復(fù)習(xí)。
此外，用分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題也是這部分的重點(diǎn)內(nèi)容，主要包括求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的問(wèn)題(含稍復(fù)雜的)、已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少求這個(gè)數(shù)的問(wèn)題(含稍復(fù)雜的)等。教材把它們對(duì)照編排，便于學(xué)生弄清這幾類問(wèn)題的聯(lián)系和區(qū)別，從而更好地掌握解決問(wèn)題的思路，即先明確單位1，再看單位1是已知還是未知來(lái)確定解決問(wèn)題的方法。為了讓學(xué)生更好地掌握分析方法，總復(fù)習(xí)的第5題和練十七的第7題還安排了需要兩次判斷單位1的練習(xí)。
2. 百分?jǐn)?shù)。
百分?jǐn)?shù)內(nèi)容的復(fù)習(xí)重點(diǎn)放在百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用，緊接在用分?jǐn)?shù)乘除法解決問(wèn)題后編排，這樣可以使學(xué)生看到它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)、解題思路上的一致性，便于加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系。百分?jǐn)?shù)的概念沒(méi)有單獨(dú)復(fù)習(xí)，但它是百分?jǐn)?shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，因此要注意進(jìn)行復(fù)習(xí)。總復(fù)習(xí)的第6題是求常見(jiàn)的百分率的問(wèn)題，通過(guò)給出計(jì)算公式，既復(fù)習(xí)百分?jǐn)?shù)的意義、百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)及小數(shù)的互化，又可復(fù)習(xí)求烘干率等類似問(wèn)題。第7題為稍復(fù)雜的百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用問(wèn)題。練十七的第13、14、15題安排的是有關(guān)百分?jǐn)?shù)的習(xí)題，其中第15題涉及國(guó)債、納稅、利率等內(nèi)容的復(fù)習(xí)。
3. 空間與圖形。
這部分內(nèi)容包括位置與圓的復(fù)習(xí)。
在第一學(xué)段中，學(xué)生已經(jīng)會(huì)用第幾組、第幾個(gè)來(lái)表示物體的位置，本學(xué)期進(jìn)一步學(xué)習(xí)用數(shù)對(duì)表示物體的位置。教材通過(guò)總復(fù)習(xí)的第8題復(fù)習(xí)用數(shù)對(duì)表示物體的位置，練十七的第1題安排了相應(yīng)的練習(xí)。
本學(xué)期圓的認(rèn)識(shí)包括直徑、半徑、、軸對(duì)稱圖形等概念以及圓的周長(zhǎng)和面積、圓的畫(huà)法等內(nèi)容，教材重點(diǎn)復(fù)習(xí)了圓的周長(zhǎng)、面積計(jì)算公式和軸對(duì)稱圖形。總復(fù)習(xí)的第9題通過(guò)讓學(xué)生復(fù)習(xí)計(jì)算公式的得出過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)計(jì)算公式的理解和掌握，以使學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)能根據(jù)不同條件和問(wèn)題靈活地運(yùn)用計(jì)算公式。第10題復(fù)習(xí)軸對(duì)稱圖形的概念，并運(yùn)用概念判斷兩個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形，加深學(xué)生對(duì)概念的理解和整理。直徑、半徑及其它們之間的關(guān)系等知識(shí)在練十七的第11題進(jìn)行復(fù)習(xí)。
4. 統(tǒng)計(jì)。
本學(xué)期統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容主要是認(rèn)識(shí)扇形統(tǒng)計(jì)圖。教材通過(guò)總復(fù)習(xí)第11題使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)，即能清楚地表明各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系，并根據(jù)給出的信息解決一些問(wèn)題，以促使學(xué)生分析信息、解決問(wèn)題能力的提高。
二、復(fù)習(xí)目標(biāo)
通過(guò)總復(fù)習(xí)，系統(tǒng)、全面地復(fù)習(xí)和整理本學(xué)期所學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建合理的知識(shí)體系，以便學(xué)生更好地理解和掌握所學(xué)的概念、計(jì)算方法以及有關(guān)的規(guī)律性的知識(shí)，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)概念、空間概念、統(tǒng)計(jì)概念，增強(qiáng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，全面達(dá)到本學(xué)期的教學(xué)目標(biāo)。
1、理解分?jǐn)?shù)乘、除法的運(yùn)算意義，掌握分?jǐn)?shù)乘、除法的計(jì)算方法和分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序;能正確計(jì)算分?jǐn)?shù)乘、除法和分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算(不超過(guò)三步)式題，能應(yīng)用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算;能應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘法解決求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，能列方程解決已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，能用分?jǐn)?shù)乘法和加、減法解決稍復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題(不超過(guò)兩步)。
2、理解比的意義和基本性質(zhì)，能應(yīng)用比的意義和基本性質(zhì)求比值、化簡(jiǎn)比，能正確解決按比例分配的實(shí)際問(wèn)題。
3、理解百分?jǐn)?shù)的意義，能正確進(jìn)行百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化，會(huì)解決求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。
4、認(rèn)識(shí)圓，掌握?qǐng)A的基本特征，理解直徑與半徑的相互關(guān)系;會(huì)用圓規(guī)畫(huà)圓。
2. 理解圓周率的意義，掌握?qǐng)A周率的近似值，理解和掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)與面積的計(jì)算公式，并能正確地計(jì)算圓的周長(zhǎng)與面積。
5、學(xué)生在整理與復(fù)習(xí)的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的內(nèi)在聯(lián)系，能綜合應(yīng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解釋日常生活現(xiàn)象、解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)感、空間觀念和統(tǒng)計(jì)觀念，增強(qiáng)解決問(wèn)題的策略意識(shí)和反思意識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力。
6、學(xué)生在整理與復(fù)習(xí)的過(guò)程中，進(jìn)一步評(píng)價(jià)和反思自己在本學(xué)期的整體學(xué)習(xí)情況，體驗(yàn)與同學(xué)交流和獲取知識(shí)的樂(lè)趣，感受數(shù)學(xué)的意義和價(jià)值，發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的積極情感，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。
三、復(fù)習(xí)重點(diǎn)
分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的計(jì)算(包括分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算)及應(yīng)用題。圓的概念和周長(zhǎng)、面積的計(jì)算。
四、復(fù)習(xí)難點(diǎn)
從學(xué)生平時(shí)的作業(yè)和單元檢測(cè)情況來(lái)看最大的問(wèn)題是分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)稍復(fù)雜的除法應(yīng)用題，其次是分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)、圓的概念。
五、復(fù)習(xí)原則
1、充分調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，鼓勵(lì)學(xué)生自覺(jué)地進(jìn)行整理和復(fù)習(xí)，提高復(fù)習(xí)能力。
2、充分體現(xiàn)教師的指導(dǎo)作用，知識(shí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)要適時(shí)講解點(diǎn)撥，保證復(fù)習(xí)效果。
3、充分體現(xiàn)因材施教分類推進(jìn)的教育原則，針對(duì)不同層次的學(xué)生設(shè)計(jì)不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，查漏補(bǔ)缺，集中答疑，提高復(fù)習(xí)效果。
六、復(fù)習(xí)方法
1、帶領(lǐng)學(xué)生按單元整理復(fù)習(xí)，鞏固基礎(chǔ)知識(shí)。
教師要按單元抓準(zhǔn)知識(shí)的重難點(diǎn)，進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的整合與鏈接，使之形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。例如應(yīng)用題的復(fù)習(xí)，可由簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題鏈接到稍復(fù)雜的復(fù)合應(yīng)用題，將知識(shí)整合鏈接起來(lái)，進(jìn)一步理解數(shù)量之間的關(guān)系，提高分析解答應(yīng)用題的能力。
2、加強(qiáng)計(jì)算能力的訓(xùn)練
平時(shí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的計(jì)算能力普遍較低，所以在復(fù)習(xí)的時(shí)候要特別加強(qiáng)計(jì)算能力的訓(xùn)練。學(xué)生計(jì)算能力的訓(xùn)練不只是機(jī)械重復(fù)的練習(xí)，而是要讓學(xué)生掌握正確的計(jì)算方法和策略。讓學(xué)生記住一看二想三算看清題目中的數(shù)、符號(hào);想好計(jì)算的順序，什么地方可以口算什么地方要筆算，哪里可以簡(jiǎn)便計(jì)算;最后動(dòng)筆算。
3、加強(qiáng)與實(shí)際的聯(lián)系
適應(yīng)新課標(biāo)的精神加強(qiáng)知識(shí)的綜合應(yīng)用以及與生活的聯(lián)系，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
4、講練結(jié)合精心設(shè)計(jì)練習(xí)，把有營(yíng)養(yǎng)的知識(shí)方法做成有味道的數(shù)學(xué)問(wèn)題和練習(xí)吸引學(xué)生去探究
5、分層指導(dǎo)
針對(duì)學(xué)生的具體情況有針對(duì)性的進(jìn)行復(fù)習(xí)，對(duì)于中差生和優(yōu)生在復(fù)習(xí)上提出不同的要求，復(fù)習(xí)題分層，指導(dǎo)分層，充分體現(xiàn)問(wèn)題練習(xí)的層次性，讓不同的學(xué)生在復(fù)習(xí)中都自己新的收獲。
6、后20%學(xué)生有針對(duì)性輔導(dǎo)。
七、注意的問(wèn)題：
1、考慮到本冊(cè)是小學(xué)階段最后一次編排位置與方向內(nèi)容，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)注意知識(shí)的綜合整理，讓學(xué)生對(duì)該內(nèi)容形成較為完整和系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。縱向來(lái)看，用數(shù)對(duì)確定物體的位置是一年級(jí)下冊(cè)按行、列確定位置的一個(gè)深化，把第幾行第幾列的具體描述抽象成數(shù)對(duì)的形式，更為簡(jiǎn)潔明了;橫向來(lái)看，則與四年級(jí)下冊(cè)用方向和距離兩個(gè)要素來(lái)確定位置是互為補(bǔ)充的兩種方法，分別從不同角度出發(fā)來(lái)刻畫(huà)物體的位置關(guān)系。復(fù)習(xí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生在綜合、對(duì)比的基礎(chǔ)上進(jìn)行整理，從而全面掌握確定物置的方法。 綜合以前學(xué)過(guò)的平移、方位、路線圖等知識(shí)，可使學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中加強(qiáng)對(duì)前后知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)和把握，同時(shí)進(jìn)一步鞏固了用數(shù)對(duì)確定位置的方法。
教學(xué)片段：
一、復(fù)習(xí)用分?jǐn)?shù)乘法解決的問(wèn)題
1.出示圖1。
師：從圖中你知道什么條件？要求什么問(wèn)題？
師：你能根據(jù)圖中的條件和問(wèn)題把它還原成一道文字表達(dá)的問(wèn)題嗎？
生：求60的是多少？
生：把60平均分成3份，求兩份是多少？
師：怎么計(jì)算？
生：60×或60÷3×2
師：兩種算法有什么聯(lián)系？
生：計(jì)算60×?xí)r，把60和3約分就是60除以3。
[設(shè)計(jì)意圖：一是復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法的意義，二是學(xué)生可通過(guò)圖示，回憶三年級(jí)學(xué)過(guò)的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”，溝通分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)除法之間的聯(lián)系，對(duì)分?jǐn)?shù)的理解就更廣了。]
2.出示圖2。
師：這幅圖由兩條線段構(gòu)成，知道為什么要畫(huà)兩條線段嗎？能不能說(shuō)說(shuō)圖示表達(dá)了什么意思？
學(xué)生列式計(jì)算：60×=40（人）
3.溝通與整數(shù)中“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少問(wèn)題”的聯(lián)系。
師：其實(shí)，它跟我們以前學(xué)過(guò)的一種問(wèn)題有聯(lián)系，你們還記得嗎？
生：是“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”的問(wèn)題。（動(dòng)態(tài)變成圖3）
師：它們都有哪些聯(lián)系呢？
生1：都用乘法計(jì)算
生2：這里的3倍可以用來(lái)表示。
生3：都是同一個(gè)已知的數(shù)比，結(jié)果是整數(shù)就用倍來(lái)表示，不到1倍時(shí)就用分?jǐn)?shù)幾分之幾來(lái)表示，所以求一個(gè)數(shù)的幾倍或幾分之幾都用乘法。
師：這個(gè)已知的數(shù)在分?jǐn)?shù)中我們叫單位“1”，在幾倍問(wèn)題中稱為一倍數(shù)，實(shí)際上它們都表示一個(gè)比較的標(biāo)準(zhǔn)。
[設(shè)計(jì)意圖：與“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”比較，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘法意義的理解。通過(guò)直觀圖形的比較，使學(xué)生對(duì)“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾可以用乘法計(jì)算”的理解有了一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了與已有知識(shí)之間的無(wú)縫對(duì)接。]
4.比較。（同時(shí)出示圖1和圖2。）
師：比一比第1題與第2題有什么相同之處？
生：?jiǎn)挝弧?”都是已知的。
生：都是求單位“1”的幾分之幾是多少，用乘法。
師：又有什么不同的地方？
生：第1題中的分?jǐn)?shù)表示的是部分與整體的關(guān)系，第2題中的分?jǐn)?shù)表示的是兩個(gè)量之間的關(guān)系。
生：第1題是已知整體求部分，第2題是已知標(biāo)準(zhǔn)求另一個(gè)量。
5.稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題。
出示圖4、圖5。
師：分別說(shuō)說(shuō)從圖中你知道了哪些信息？可以怎樣列式？
學(xué)生列出算式（第4題）：①60-60×；②60×（1-）；③60÷3×1。
第5題算式略。
師：第①、②兩種方法有什么區(qū)別與聯(lián)系？
生：第一種方法是先求用去的，再用總數(shù)減用去的得到剩下的；第2種方法是先求出剩下的分率，再用單位“1”乘剩下的分率得到剩下的。
生：都要用單位“1”乘分率得到一個(gè)量。
6.比較。同時(shí)出示圖1、圖2、圖4、圖5。
師：這四道題有什么相同點(diǎn)？
生：?jiǎn)挝弧?”都是已知的，單位“1”乘分率等于所求問(wèn)題。
師：為什么第1題和第4題乘的分率不同？
生：因?yàn)樗髥?wèn)題不同。所求問(wèn)題不同，乘的分率也不同。
師：也就是問(wèn)題跟分率要一致，在數(shù)學(xué)中我們稱之為對(duì)應(yīng)。
二、復(fù)習(xí)用分?jǐn)?shù)除法解決的問(wèn)題
1.出示圖6。
師：從圖中你能知道哪些條件？
生：全長(zhǎng)平均分成了4份，這樣的3份是120米，求全長(zhǎng)是多少？
生：把全長(zhǎng)看成是單位“1”，全長(zhǎng)的是120米，求全長(zhǎng)是多少？
師：怎樣列式？
生：120÷3×4。
師：也可以先除后乘。跟前面的一樣嗎？
生：這是通過(guò)部分先求一份，再求單位“1”的總份數(shù)，而分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題中是先把單位“1”平均分，再數(shù)其中的部分有這樣的幾份。
生：全長(zhǎng)×=120米，所以全長(zhǎng)=120÷。
生：這兩種算法還是有聯(lián)系的，120÷=120×=120÷3×4。
出示圖7，教學(xué)過(guò)程同上。
2.出示圖8、圖9。
師：說(shuō)一說(shuō)這兩幅圖分別表示什么意思？能根據(jù)圖中給出的條件和問(wèn)題列出算式嗎？
3.比較。同時(shí)出示圖6、圖7、圖8、圖9。
師：這四道題有什么相同的地方？
生：都是求單位“1”。
生：用的都是除法，都是用具體數(shù)量除以分率。
師指第6、8兩題，為什么所除的分率不同？
生：因?yàn)榫唧w數(shù)量不同。
生：分率要跟具體數(shù)量相對(duì)應(yīng)。
三、分?jǐn)?shù)乘除法問(wèn)題的比較
同時(shí)出示圖1、圖2、圖6、圖7。
師：看圖比較，你能發(fā)現(xiàn)什么嗎？
生：第1、2題是已知單位“1”，求單位“1”的幾分之幾是多少，用乘法；第6、7兩題是相反的，已知單位“1”的幾分之幾是多少，求單位“1”，用除法。
生：都可以先除后乘，先求一份是多少，再求幾份或總數(shù)。
……
教學(xué)反思：
一、在比較中溝通聯(lián)系
本課教學(xué)，通過(guò)比較溝通了分?jǐn)?shù)乘、除法問(wèn)題之間的聯(lián)系；復(fù)雜問(wèn)題與簡(jiǎn)單問(wèn)題之間的聯(lián)系。這里并沒(méi)有讓學(xué)生簡(jiǎn)單地比較得出解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題的一種套路，即單位“1”已知，用乘法，乘所求問(wèn)題對(duì)應(yīng)的分率；單位“1”未知，用除法或方程……如果學(xué)生在解決問(wèn)題后就此終止，不對(duì)解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行回顧和反思，不對(duì)各種方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，那么數(shù)學(xué)活動(dòng)就有可能停留在經(jīng)驗(yàn)水平上，事倍功半。教學(xué)中，把重點(diǎn)放在通過(guò)線段圖的直觀，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行交流與反思，在原有知識(shí)中溝通了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義不同維度之間的聯(lián)系，獲得對(duì)分?jǐn)?shù)問(wèn)題的真正理解。
二、在直觀中感悟數(shù)學(xué)思想方法
以往教學(xué)分?jǐn)?shù)乘、除法問(wèn)題時(shí)也重視比較，即先通過(guò)文字表達(dá)的題組解決問(wèn)題，最后比較異同，再歸結(jié)出分?jǐn)?shù)乘、除法問(wèn)題的解決思路，學(xué)生易形成分?jǐn)?shù)問(wèn)題的解題套路，它是一種以提高解題正確率為目的的比較。學(xué)生在掌握了套路后，往往不仔細(xì)地閱讀和理解題意就進(jìn)行列式。而通過(guò)直觀的線段圖進(jìn)行比較，抽去了情境，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，有助于學(xué)生進(jìn)行比較、交流與反思，從而促進(jìn)對(duì)知識(shí)的深度理解，有利于學(xué)生感悟分?jǐn)?shù)乘、除法問(wèn)題中的量率對(duì)應(yīng)思想。對(duì)于量率對(duì)應(yīng)，雖然不要求對(duì)學(xué)生明確提出，但是學(xué)生自己在解決問(wèn)題、交流的過(guò)程中有很好地感悟，這對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解很有幫助。
一、 指導(dǎo)思想
嚴(yán)格遵循黨的教育方針，愛(ài)崗敬業(yè)，正確傳授學(xué)生知識(shí)，并對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)乃枷虢逃囵B(yǎng)其成為新時(shí)期現(xiàn)代化建設(shè)的接班人和建設(shè)者。認(rèn)真培養(yǎng)其數(shù)感，提高其計(jì)算能力，培養(yǎng)其空間觀念，并能把所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到生活實(shí)際中去，解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。
二、基本情況分析
本班共有學(xué)生50多人，其中男生和女生大約各占一半。本班的大部分學(xué)生都是來(lái)自居峪管理區(qū)的各個(gè)村，其中有一大部分是在校住宿生。從去年一年的教學(xué)情況來(lái)看這個(gè)班的學(xué)習(xí)習(xí)慣較差，特別是作業(yè)習(xí)慣的自習(xí)習(xí)慣，困此必須對(duì)其進(jìn)行培養(yǎng)。另外，還有少數(shù)學(xué)生的家長(zhǎng)到外地打工或開(kāi)飲食店等，孩子留在家里由爺爺、奶奶或親戚照看，這樣不利于對(duì)孩子的教育，兩極分化比較嚴(yán)重，因此對(duì)學(xué)生的關(guān)心和思想教育也十分重要。
三、教學(xué)目標(biāo)
九年義務(wù)教育小學(xué)六年制數(shù)學(xué)第九冊(cè)數(shù)學(xué)的主要任務(wù)目標(biāo)是：
1、使學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘、除法的意義，掌握分?jǐn)?shù)乘、除法的計(jì)算法則，比較熟練的計(jì)算分?jǐn)?shù)乘、除法（簡(jiǎn)單的能夠口算）。
2、使學(xué)生會(huì)進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算。
3、使學(xué)生理解比的意義和性質(zhì)，會(huì)求比值和化簡(jiǎn)比。
4、使學(xué)生掌握?qǐng)A的特征，會(huì)用工具畫(huà)圓；掌握?qǐng)A周長(zhǎng)和圓面積的計(jì)算公式，能夠正確計(jì)算圓的周長(zhǎng)和面積。通過(guò)介召圓周率的史料，使學(xué)生受到愛(ài)國(guó)主義教育。
5使學(xué)生初步理解軸對(duì)稱的意義，初步認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱圖形。
6、使學(xué)生能夠解答比較容易的一到二步計(jì)算的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，能夠根據(jù)應(yīng)用題的具體情況，靈活的選用用算術(shù)解法和方程解法。
7、使學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的意義，比較熟練地進(jìn)行有關(guān)百分?jǐn)?shù)的計(jì)算，能夠解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題。
在完成本冊(cè)數(shù)學(xué)任務(wù)的同時(shí)還要注意以下問(wèn)題
1、能結(jié)合具體情境，對(duì)有關(guān)的數(shù)學(xué)信息作出合理的解釋。
2、在探索物體的位置關(guān)系、圖形的特征、圖形的變換以及設(shè)計(jì)圖形的過(guò)程中，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。
3、能根據(jù)解決問(wèn)題的需要，收集有用的信息，進(jìn)行歸納、類比與猜測(cè)。
4、在解決問(wèn)題的過(guò)程中，能進(jìn)行有條理的思考，能對(duì)結(jié)論的合理性作出有說(shuō)服力的說(shuō)明。
四、方法措施
1、認(rèn)真?zhèn)湔n，鉆研教材，作到課堂上能深入淺出進(jìn)行教學(xué)，特別照顧到后進(jìn)生。
2、平時(shí)的練習(xí)要有針對(duì)性，對(duì)于后進(jìn)生和優(yōu)秀的學(xué)生要分別出一些適合他們的練習(xí)。
3、加強(qiáng)操作、直觀的教學(xué)，例如教學(xué)圓和軸對(duì)稱圖形時(shí)，就要利用操作、直觀教學(xué)，以發(fā)展他們的空間觀念。
4、增加實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
5、加強(qiáng)能力的培養(yǎng)。主要培養(yǎng)學(xué)生的分析、比較和綜合能力；抽象概括能力；判斷、推理能力；遷移類推能力；揭示知識(shí)間的聯(lián)系，探索規(guī)律，總結(jié)規(guī)律；培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和敏捷性。
五、教學(xué)進(jìn)度安排
周次
教學(xué)內(nèi)容
課時(shí)
備注
1至4
分?jǐn)?shù)乘除法意義和四則計(jì)算
5至8
簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
9至13
圓的周長(zhǎng)和面積公式與其應(yīng)用
14至18
百分?jǐn)?shù)的意義與簡(jiǎn)單的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題
19至完
然而，對(duì)于這么多的教學(xué)內(nèi)容怎么可能在一節(jié)課內(nèi)完成呢？從意義上讓學(xué)生來(lái)理解分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系就要花大量的時(shí)間，如果再加上真假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)也要從意義上真正理解，40分鐘根本就不夠用，當(dāng)時(shí)大家的想法也是如此。那如何將這些內(nèi)容整合在一起呢？是單純知識(shí)的疊加整合還是有效的知識(shí)融合？筆者通過(guò)兩節(jié)同課同構(gòu)的“分?jǐn)?shù)與除法”來(lái)具體闡述說(shuō)明。為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，不同的教師的整合方式也有所不同。
一、A教師的方式：“疊加式”的教學(xué)整合
進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容整合，首先要明確整合內(nèi)容包含的知識(shí)點(diǎn)有哪些，然后將知識(shí)點(diǎn)按重難點(diǎn)的要求分別設(shè)計(jì)在教案中，再在課堂上一一呈現(xiàn)。下面這位教師就是將知識(shí)點(diǎn)有序地“疊加”，教學(xué)過(guò)程如下。
（一）復(fù)習(xí)引入新課
1. 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的意義，今天，我們繼續(xù)來(lái)學(xué)習(xí)有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識(shí)。
（1）把8個(gè)餅平均分給2個(gè)人，每人分得幾個(gè)？ （8÷2＝ 4）
（2）把4個(gè)餅平均分給2個(gè)人，每人分得幾個(gè)？ （4÷2＝ 2）
（3）把2個(gè)餅平均分給2個(gè)人，每人分得幾個(gè)？ （2÷2＝ 1）
師：以上式子為什么用除法？
2.現(xiàn)在只有1個(gè)餅，平均分給2個(gè)人，每人分得幾個(gè)？ （1 ÷2＝ 0.5= ）
如果把這一個(gè)餅，平均分給3個(gè)人，每人分得幾個(gè)？（1 ÷3＝ 0.3= ）
師（小結(jié)）：當(dāng)?shù)玫降纳滩荒苡谜麛?shù)表示時(shí)，我們就可以用小數(shù)或者分?jǐn)?shù)來(lái)表示。
3.師：如果把這一個(gè)餅，平均分給4個(gè)人，每人分得一個(gè)餅的，也可以說(shuō)是個(gè)餅。
（二）探究除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，認(rèn)識(shí)真假分?jǐn)?shù)
1.連續(xù)分9個(gè)餅。
（1）一個(gè)餅平均分給4個(gè)人，每人分得多少個(gè)餅？（1 ÷4＝）
（2）再給一個(gè)繼續(xù)分，每人分得多少個(gè)餅？（2 ÷4＝ ）
（3）再給一個(gè)繼續(xù)分，每人分得多少個(gè)餅？（3 ÷4＝）
（4）再給一個(gè)繼續(xù)分，每人分得多少個(gè)餅？（4 ÷4＝ =1）
（5）再給一個(gè)繼續(xù)分，每人分得多少個(gè)餅？（5 ÷4＝ ）
（6）再給一個(gè)繼續(xù)分，每人分得多少個(gè)餅？（6 ÷4＝）
（7）再給一個(gè)繼續(xù)分，每人分得多少個(gè)餅？（7÷4＝）
（8）現(xiàn)在呢？（課件出示第8個(gè)餅）（ 8÷4＝=2）
（9）還想再來(lái)一個(gè)嗎？（9÷4＝）
2. 在分餅的過(guò)程中我們知道了平均分可以用除法來(lái)計(jì)算，商可以用分?jǐn)?shù)表示。仔細(xì)觀察，除法算式和所得的分?jǐn)?shù)之間有什么聯(lián)系？還有什么不同的地方？
聯(lián)系：被除數(shù)相當(dāng)于分子， 除數(shù)相當(dāng)于分母，除號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)中的分?jǐn)?shù)線。
用字母表示：a÷b=，并補(bǔ)充b≠0。
不同：除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)就是一種數(shù)。
3.下面再請(qǐng)大家仔細(xì)觀察，這一次我們來(lái)看這一列分?jǐn)?shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？
根據(jù)分子與分母的大小關(guān)系給出真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的概念并舉例。
4.揭題：分?jǐn)?shù)與除法。
（三）進(jìn)一步探究除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系，認(rèn)識(shí)帶分?jǐn)?shù)
1．三個(gè)餅平均分給4個(gè)人。
（1）學(xué)生操作，小組交流。
（2）反饋學(xué)生的三種不同方法：將每個(gè)餅平均分成4份，一個(gè)一個(gè)分；將兩個(gè)餅各自平均分成2份，第三個(gè)餅平均分成4份，再分；三個(gè)餅疊在一起平均分成4份，再分。
（3）深入認(rèn)識(shí)除法與分?jǐn)?shù)。得出：3個(gè)餅的就等于 1個(gè)餅的，就是個(gè)餅。
2. 五個(gè)餅平均分給4個(gè)人。
先一個(gè)一個(gè)分，最后一個(gè)分四份，引出1+=1（個(gè)），并呈現(xiàn)假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的概念。
從上述案例中我們可以看出這位教師的精心設(shè)計(jì)，通過(guò)“分餅”活動(dòng)，將分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系和真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)整合在一起，串聯(lián)成一條主線。
第一次分餅：解決商是整數(shù)的分法，引出商可以是分?jǐn)?shù)。
第二次分餅：一個(gè)一個(gè)分餅解決探究分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，引出真、假分?jǐn)?shù)的概念。
第三次分餅：通過(guò)3個(gè)餅平均分給四個(gè)人的不同分法進(jìn)一步理解兩者關(guān)系，并引出帶分?jǐn)?shù)的概念。
三次分餅將這些知識(shí)點(diǎn)整合在一起，環(huán)節(jié)清晰。但是如果進(jìn)一步思考就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在這樣的教學(xué)安排下，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系體驗(yàn)會(huì)比較單薄，反而真、假分?jǐn)?shù)成了學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，這樣與這節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成就背道而馳了。雖然這位教師將這么多知識(shí)點(diǎn)都有序地“疊加”在一起，整體上完成了教學(xué)內(nèi)容，但如果僅僅“疊加”知識(shí)整合，有時(shí)候會(huì)使知識(shí)間出現(xiàn)割裂或者重復(fù)，課堂效率也會(huì)降低。
二、 B教師的方式：“互含式”的教學(xué)整合
如果將知識(shí)點(diǎn)既能進(jìn)行有序思考，又能讓各環(huán)節(jié)互相包含，緊緊相扣，融合成一個(gè)整體的設(shè)計(jì)，那么教學(xué)效率就會(huì)大大提高。如下面是B教師的教學(xué)設(shè)計(jì)。
（一）導(dǎo)入
師：這節(jié)課，我們一起來(lái)分一分餅，好嗎？那怎么分才公平呢？（平均分）
（二）展開(kāi)
1.出示：把4個(gè)餅平均分給2個(gè)小朋友，每人分得幾個(gè)？（4÷2=2）
把2個(gè)餅平均分給2個(gè)小朋友，每人分得幾個(gè)？（2÷2=1）
出示：把1個(gè)餅平均分給2個(gè)小朋友，每人分得幾個(gè)？（1÷2= ）
把1個(gè)餅平均分給3個(gè)小朋友呢？（1÷3=）
現(xiàn)在要把1個(gè)餅平均分給4個(gè)小朋友，怎么分呢？ （1÷4=）
生：把1個(gè)餅平均分成4份，每人得到這個(gè)餅的，就是個(gè)。
2.出示：現(xiàn)在有3個(gè)餅，平均分給4個(gè)人，每人得到幾個(gè)呢？
（1）學(xué)生操作，小組交流。
（2）反饋學(xué)生的三種不同分法：將每個(gè)餅平均分成4份，一個(gè)一個(gè)分；將兩個(gè)餅各自平均分成2份，第三個(gè)餅平均分成4份，再分；三個(gè)餅疊在一起平均分成4份，再分。（結(jié)合課件理解）
得出：3個(gè)餅的就等于 1個(gè)餅的，就是個(gè)餅。
（3）那再給2個(gè)餅?zāi)兀棵咳说玫綆讉€(gè)呢？（5個(gè)個(gè)，即個(gè)餅，還可以是1個(gè)加個(gè)餅）
（4）那再給一個(gè)餅?zāi)兀棵咳说玫綆讉€(gè)呢？（6個(gè)個(gè)，即個(gè)餅，還可以是1個(gè)加個(gè)餅）
（5）我們?cè)偌右粋€(gè)呢？（7個(gè)個(gè)，即個(gè)餅，還可以是1個(gè)加個(gè)餅）
（6）再加一個(gè)呢？（8個(gè)個(gè)，即個(gè)餅，正好是2個(gè)餅）
（7）再加上1個(gè)呢？ （9個(gè)個(gè)，即個(gè)餅，還可以是2個(gè)加個(gè)餅）
3.探尋規(guī)律。
（1）通過(guò)分餅，我們得到了那么多的分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在來(lái)觀察一下這些分?jǐn)?shù)的分子、分母，發(fā)現(xiàn)了什么？
生：有些分?jǐn)?shù)的分子比分母小，有些分?jǐn)?shù)的分子比分母大。
師：像這樣分子比分母小的分?jǐn)?shù)，叫真分?jǐn)?shù)。分子比分母大或者分子等于分母的分?jǐn)?shù)叫假分?jǐn)?shù)。這樣的假分?jǐn)?shù)，比如個(gè)，就是1個(gè)加個(gè)，可以寫(xiě)成1個(gè)。個(gè)就是1個(gè)……像這樣由整數(shù)和真分?jǐn)?shù)組成的分?jǐn)?shù)叫帶分?jǐn)?shù)。
教師讓學(xué)生再舉例說(shuō)說(shuō)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)。
（2）總數(shù)與份數(shù)的關(guān)系。
師：在什么情況下是真分?jǐn)?shù)？
生：被除數(shù)小于除數(shù)。
師：也就是總數(shù)小于份數(shù)。
師：在什么情況下會(huì)是假分?jǐn)?shù)呢？
生：當(dāng)總數(shù)大于或者等于份數(shù)。
（3）分?jǐn)?shù)與除法算式的關(guān)系。
師：觀察好了分?jǐn)?shù)，我們?cè)賮?lái)仔細(xì)觀察一下這些除法算式和分?jǐn)?shù)，你又能發(fā)現(xiàn)什么？
生：被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。
師：那除號(hào)呢？
生：除號(hào)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)線。
師：還能發(fā)現(xiàn)什么嗎？
師：這樣的等式你能說(shuō)幾個(gè)嗎？
生：……
師：這樣的算式能說(shuō)完嗎？
生：不能。
師：那你能用一個(gè)算式來(lái)表示嗎？
生：a÷b 。
師：同學(xué)們真不錯(cuò)，通過(guò)觀察，了解了分?jǐn)?shù)與除法有著這樣的聯(lián)系。（板書(shū)：分?jǐn)?shù)與除法）
（四）練習(xí)
師出示：7÷（ ）=
師：在什么情況下會(huì)產(chǎn)生真分?jǐn)?shù)？
生：除數(shù)比7大。
師：這樣的真分?jǐn)?shù)能說(shuō)完嗎？
生：很多，說(shuō)不完。
師：在什么情況下會(huì)產(chǎn)生假分?jǐn)?shù)？
生：除數(shù)等于7，或者小于7。
師小結(jié)。
同樣是“分餅”，B教師“分”得更緊湊一些。也可以看出幾個(gè)環(huán)節(jié)中知識(shí)點(diǎn)是相互融合的。尤其是3個(gè)餅平均分給4人時(shí)，教師先通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作、反饋交流，再結(jié)合課件理解不同的分法，都可以得到“3個(gè)餅的就等于 1個(gè)餅的，就是個(gè)餅”，既解決了本課的難點(diǎn)，同時(shí)也為后續(xù)分餅做了鋪墊。利用這個(gè)結(jié)果讓學(xué)生再次一個(gè)一個(gè)分餅，得出一些新的分?jǐn)?shù)，再讓學(xué)生觀察。學(xué)生觀察分為三個(gè)層次：①觀察并給所得分?jǐn)?shù)分類，引出真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)的概念。②結(jié)合除法觀察分?jǐn)?shù)的分子和分母的大小關(guān)系，引出總數(shù)與份數(shù)的比較。③觀察除法算式與分?jǐn)?shù)，引出兩者的關(guān)系。所有的知識(shí)都是圍繞分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系而得到的，也是讓學(xué)生通過(guò)感悟而體會(huì)的，從學(xué)生的回答中就可以看出。整節(jié)課條理清晰，環(huán)環(huán)互扣，將知識(shí)點(diǎn)有條不紊地整合在一起，并且能融合在一個(gè)情境中分層次地解決，互含互融，提高了課堂教學(xué)效率。
三、兩種教學(xué)整合的比較及思考
同樣的內(nèi)容、同樣的知識(shí)結(jié)構(gòu)，兩位教師進(jìn)行了不同形式的整合，A教師是將知識(shí)點(diǎn)以“疊加”的形式整合在一起，B教師是將知識(shí)點(diǎn)“有序互含”的形式整合在一起。對(duì)此，筆者也結(jié)合自己的理解將兩種整合方式進(jìn)行了比較。
疊加式：
第一次分餅 第二次分餅 第三次分餅
互含式：
從圖中可以看出，教學(xué)內(nèi)容整合并不是單純知識(shí)的疊加，而是以知識(shí)間的邏輯關(guān)系和本節(jié)課的重點(diǎn)主題為基礎(chǔ)的，只有充分了解本課的知識(shí)群體關(guān)系，才能合理地安排好它們的整合關(guān)系，從而也會(huì)避免出現(xiàn)重復(fù)或者冗長(zhǎng)的教學(xué)環(huán)節(jié)，將不可能完成的任務(wù)整合成可以高效率完成的任務(wù)，在課堂內(nèi)扎實(shí)地完成。
從上述對(duì)比中可以發(fā)現(xiàn)，教師取得較高的教學(xué)效率，主要是其在整合中做到了以下亮點(diǎn)。
（一）教學(xué)內(nèi)容的整合以對(duì)教材的整體理解為基礎(chǔ)
無(wú)論是一節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的梳理，還是一個(gè)單元知識(shí)內(nèi)容的整合，仍然要以教材的系統(tǒng)為基礎(chǔ)。教師在設(shè)計(jì)一堂課的時(shí)候要讀透教材的編排意圖，讀懂教材的前后聯(lián)系。從上述案例中，可以發(fā)現(xiàn)將真假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)加入到分?jǐn)?shù)與除法關(guān)系這節(jié)課中的想法還是可行的。因?yàn)檫@幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)彼此有著緊密的聯(lián)系，在以往的教學(xué)中，教師都是讓學(xué)生通過(guò)觀察分子與分母的大小關(guān)系而得出來(lái)的，但在這節(jié)課里都融合在分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系中得出，同時(shí)結(jié)合產(chǎn)生的意義來(lái)記憶和區(qū)分。并且通過(guò)總數(shù)與份數(shù)的關(guān)系與前面除法的知識(shí)結(jié)合起來(lái)理解，學(xué)生理解很深刻，既能貫穿前面所學(xué)知識(shí)，又能為后續(xù)知識(shí)打好扎實(shí)的基礎(chǔ)，讓這個(gè)不可能的任務(wù)不僅得以完成，還很有效地完成了。
（二）在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上讓整合促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展
有了對(duì)教材的分析和學(xué)情的了解后，采取合適的教學(xué)策略也是非常有必要的，促使學(xué)生思維上的開(kāi)發(fā)和轉(zhuǎn)變。就像本節(jié)課中，雖然A教師很順利地把課上完了，但在問(wèn)到“學(xué)了今天這節(jié)課，你有什么收獲”的時(shí)候，絕大部分學(xué)生都是說(shuō)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)或者帶分?jǐn)?shù)，很少有學(xué)生說(shuō)是分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系。轟轟烈烈地上了滿滿一堂課，學(xué)生印象最深的卻是分?jǐn)?shù)的名稱，而本節(jié)課的主線應(yīng)該是分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，為什么學(xué)生說(shuō)不出呢？筆者認(rèn)為這可能是學(xué)生對(duì)于兩者關(guān)系的體驗(yàn)還不夠深刻，還比較單薄。如果教師一開(kāi)始就給學(xué)生學(xué)習(xí)定位，明確今天學(xué)習(xí)的就是分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，然后通過(guò)分餅出現(xiàn)算式和計(jì)算結(jié)果，提煉成兩數(shù)相除，以前是大數(shù)除以小數(shù)得到整數(shù)，而現(xiàn)在是小數(shù)除以大數(shù)就可以用分?jǐn)?shù)表示，再將所得結(jié)果（商的不同形式）分類，再取名真、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)。這樣的調(diào)整一定能加深學(xué)生對(duì)兩者關(guān)系的體驗(yàn)，也明確本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，整合的不僅是知識(shí)點(diǎn)，還有知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)方法。
