時(shí)間：2023-05-29 17:49:08
開(kāi)篇：寫(xiě)作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇概率計(jì)算，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過(guò)程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
一、當(dāng)遺傳類型為常染色體遺傳時(shí)
1.一種常染色體遺傳病的遺傳
例1 一對(duì)正常的夫婦生下一個(gè)患白化病的男孩，請(qǐng)問(wèn)該夫婦：①再生一患病孩子的概率是多少？②再生一女孩患病的概率是多少？③再生一患病女孩的概率是多少？
解析 白化病為常染色體隱性遺傳病，由題意可知該夫婦均為攜帶者（Aa×Aa），因此再生一個(gè)患病孩子（aa）的概率是1/4。
第②問(wèn)中性別在前，表明已經(jīng)確定性別為女孩，因此概率的計(jì)算則與性別無(wú)關(guān)，所以再生一女孩患病的概率是1/4。
第③問(wèn)中性別在后，表明性別不確定，而生下女孩的概率是1/2，因此再生一患病女孩的概率等于生下患病孩子的概率（1/4）乘以生下女孩的概率（1/2）為1/8。
2.兩種常染色體遺傳病的遺傳
例2 一個(gè)患多指癥的女子與一個(gè)正常的男性生下了一個(gè)患白化病的男孩，請(qǐng)問(wèn)該夫婦：①再生一個(gè)女孩兩病皆患的概率是多少？②再生一個(gè)兩病皆患女孩的概率是多少？
解析 多指癥為常染色體顯性遺傳病，白化病為常染色體隱性遺傳病，由題意可知該夫婦的基因型為：SsAa和ssAa。分別考慮兩對(duì)性狀：Ss×ssSs（多指）的概率是1/2；Aa×Aaaa（白化病）的概率是1/4。
第①問(wèn)性別在前，因此計(jì)算與性別無(wú)關(guān)，再生一女孩兩病皆患的概率為：患多指癥的概率（1/2）乘以患白化病的概率（1/4）等于1/8。
第②問(wèn)性別在后，表明性別不確定，因此再生一個(gè)兩病皆患女孩的概率為：患多指癥的概率（1/2）乘以患白化病的概率（1/4）再乘以生下女孩的概率（1/2）等于1/16。
二、當(dāng)遺傳類型為伴X遺傳時(shí)
1.一種伴X遺傳病的遺傳
例3 一對(duì)患抗維生素D佝僂癥的夫婦生下一個(gè)正常的孩子，請(qǐng)問(wèn)該夫婦：①再生一患病孩子的概率是多少？②再生一女孩患病的概率是多少？③再生一患病女孩的概率是多少？
解析 抗維生素D佝僂癥為伴X顯性遺傳病，與性別有關(guān)，對(duì)男女的影響不同。由題意可知該夫婦的基因型為：XDXd和XDY。因此其后代為XDXD（患病女孩）∶XDXd（患病女孩）∶XDY （患病男孩）∶XdY（正常男孩）=1∶1∶1∶1。所以再生一患病孩子的概率為3/4。
第②問(wèn)性別在前，表明只研究女孩，而后代中只要生下女孩必患病，因此再生一女孩患病的概率為1。
第③問(wèn)中性別在后，表明性別不確定，故在所有子代中研究生下患病女孩的概率為1/2。
2.兩種伴X遺傳病的遺傳
例4 母親正常，父親是紅綠色盲患者，生下一個(gè)男孩是血友病患者，一個(gè)女兒是紅綠色盲患者，如果不考慮交叉互換，請(qǐng)問(wèn)該夫婦：①再生一個(gè)女孩患病的概率是多少？②再生一個(gè)患病女孩的概率是多少？
解析 色盲癥和血友病均為伴X隱性遺傳病， 由題意可知該夫婦的基因型為： XBhXbH和XbHY。
因此其后代為XBhXbH（正常女孩）∶XbHXbH （色盲女孩）∶XbHY（色盲男孩）∶XBhY（血友男孩）=1∶1∶1∶1。
第①問(wèn)性別在前，表明只研究女孩，因此再生一女孩患病的概率為1/2。
第②問(wèn)性別在后，表明性別不確定，故在所有子代中研究生下患病女孩的概率為1/4。
三、當(dāng)遺傳類型為常染色體遺傳和伴X遺傳相結(jié)合時(shí)
例5 父親是紅綠色盲患者，母親正常，生了一個(gè)既患白化病又患色盲癥的男孩，請(qǐng)問(wèn)該夫婦：①再生一個(gè)女孩兩病皆患的概率是多少？②再生一個(gè)兩病皆患女孩的概率是多少？
解析 白化病為常染色體隱性遺傳病，色盲癥為伴X隱性遺傳病， 由題意可知該夫婦的基因型為： AaXBXb和AaXbY。分別考慮兩對(duì)性狀：Aa×Aaaa（白化病）的概率是1/4；XBXb×XbYXBXb（正常女孩）∶XbXb（患病女孩）∶XBY（正常男孩）∶XbY（患病男孩）=1∶1∶1∶1。
第①問(wèn)性別在前，因此白化病的概率計(jì)算與性別無(wú)關(guān)，而色盲癥只考慮女孩；所以再生一女孩兩病皆患的概率為：患白化病的概率（1/4）乘以女孩中患色盲癥的概率（1/2）等于1/8。
第②問(wèn)性別在后，表明性別不確定，因此再生一個(gè)兩病皆患女孩的概率為：患白化病的概率（1/4）乘以色盲中患病女孩的概率（1/4）等于1/16。
1.一對(duì)表現(xiàn)正常的夫婦，男方的父親是白化病患者，女方的父母均正常，但女方的弟弟是白化病患者。這對(duì)夫婦生出白化病女孩的概率是（ ）
A.1/8 B.1/4
C.1/12 D.1/6
2.人的血友病屬于伴性遺傳，苯丙酮尿癥屬于常染色體遺傳。一對(duì)表現(xiàn)型正常的夫婦生下一個(gè)既患血友病又患苯丙酮尿癥的男孩。如果他們?cè)偕粋€(gè)女孩，表現(xiàn)型正常的概率是（ ）
A.9/16 B.3/4
C.3/16 D.1/4
3.人類的鐘擺型眼球震顫是由X染色體上顯性基因控制，半乳糖血癥是由常染色體上的隱性基因控制。一個(gè)患鐘擺型眼球震顫的女性和一正常男性婚配，生了一個(gè)患半乳糖血癥的男孩（眼球正常），他們生的第二個(gè)孩子是兩病皆患的女孩的幾率是（ ）
A.1/2 B.1/4
C.1/8 D.1/16
4.某家庭多指（顯性致病基因P控制）遺傳情況如下圖。
[3] [4] [2] [6] [1] [5]
（1）若1、2再生一個(gè)孩子，該孩子患多指的可能性是 。
（2）圖中6和一個(gè)與自己基因型相同的男性結(jié)婚，生患病女孩的可能性是 。
（3）圖中4手指正常但患先天性聾啞（隱形致病基因d控制），這對(duì)夫婦再生一個(gè)聾啞女的可能性是 。
5.下圖是患甲病（顯性基因A，隱性基因a）和乙病（顯性基因B，隱性基因b）兩種遺傳的系譜圖，據(jù)圖回答問(wèn)題：
[1][2][3][4][5][6][1][2][3][4][5] [正常女][正常男][甲病男][甲病女][乙病男][兩種病男]
（1）甲病致病基因位于 染色體上，為 性基因。
（2）從系譜圖上可以看出甲病的遺傳特點(diǎn)是 。子代患病，則親代之一必 ；若Ⅱ5與另一正常人結(jié)婚，其中子女患甲病的概率為 。
（3）假設(shè)Ⅱ1，不是乙病基因的攜帶者，則乙病的致病基因位于 染色體上，為 性基因，乙病的特點(diǎn)是 遺傳。Ⅰ2的基因型為 ，Ⅲ2的基因型為 。假設(shè)Ⅲ1與Ⅲ5結(jié)婚生了一個(gè)男孩，則該男孩患一種病的概率為 ，所以我國(guó)婚姻法禁止近親間的婚配。
重慶市江津中學(xué) 孫華權(quán) 402260
概率是對(duì)某一可能發(fā)生事件的估計(jì)，是指總事件與特定事件的比例，其范圍介于0和1之間。由于學(xué)生有關(guān)概率及概率計(jì)算的知識(shí)不夠，學(xué)生對(duì)遺傳學(xué)題中的有關(guān)概率計(jì)算掌握起來(lái)比較困難，筆者通過(guò)近幾年來(lái)的教學(xué)，根據(jù)遺傳的基本定律和有關(guān)概率的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)遺傳學(xué)題中概率計(jì)算的六種類型，進(jìn)行解題思路的分析講解，收到了很好的的教學(xué)效果。
一、某一事件出現(xiàn)的概率計(jì)算法
例題1：雜合子（Aa）自交，求自交后代某一個(gè)體是雜合體的概率。
解析：對(duì)此問(wèn)題首先必須明確該個(gè)體是已知表現(xiàn)型還是未知表現(xiàn)型。⑴若該個(gè)體表現(xiàn)型為顯性性狀，它的基因型有兩種可能：AA和Aa。且比例為1∶2，所以它為雜合子的概率為2/3。⑵若該個(gè)體為未知表現(xiàn)型，那么該個(gè)體基因型為AA、Aa和aa，且比例為1∶2∶1，因此它為雜合子的概率為1/2。正確答案：2/3或1/2。
二、親代的基因型在未肯定的情況下，其后代某一性狀發(fā)生的概率計(jì)算法
例題2：一對(duì)夫婦均正常，且他們的雙親也都正常，但雙方都有一白化病的兄弟，求他們婚后生白化病孩子的概率是多少？
解析：⑴首先確定該夫婦的基因型及其概率？由前面例題1的分析可推知該夫婦均為Aa的概率為2/3，AA的概率為1/3。⑵假設(shè)該夫婦為Aa，后代患病的概率為1/4。⑶最后將該夫婦均為Aa的概率（2/3×2/3）與假設(shè)該夫婦均為Aa情況下生白化病患者的概率1/4相乘，其乘積1/9，即為該夫婦后代中出現(xiàn)白化病患者的概率。正確答案：1/9。
三、利用不完全數(shù)學(xué)歸納法
例題3：自交系第一代基因型為Aa的玉米，自花傳粉，逐代自交，到自交系第n代時(shí)，其雜合子的幾率為 。
解析：
第一代 Aa
第二代 1AA 2Aa 1aa 雜合體幾率為 1/2
第三代 純 1AA 2Aa 1aa 純 雜合體幾率為 （1/2）2
第n代 雜合體幾率為 （1/2）n-1
正確答案：雜合體幾率為 （1/2）n-1
四、利用棋盤(pán)法
例題4、人類多指基因（T）是正常指（t）的顯性，白化基因（a）是正常（A）的隱性，都在常染色體上，而且都是獨(dú)立遺傳。一個(gè)家庭中，父親是多指，母親正常，他們有一個(gè)白化病和正常指的的孩子，則生下一個(gè)孩子只患有一種病和患有兩種病以及患病的概率分別是（ ）
A、1/2，1/8，5/8 B、3/4，1/4，5/8 C、1/4，1/4，1/2 D、1/4，1/8，1/2
解析：據(jù)題意分析，先推導(dǎo)出雙親的基因型為T(mén)tAa（父），ttAa（母）。然后畫(huà)棋盤(pán)如下：
TA Ta tA ta
TtAA
TtAa
ttAA
ttAa
TtAa
Ttaa
ttAa
ttaa
tA
ta
正確答案：A。
五、利用加法原理和乘法原理的概率計(jì)算法
例題5（同上例題4）：解析：⑴據(jù)題意分析，先推導(dǎo)出雙親的基因型為T(mén)tAa（父親），ttAa（母親）。據(jù)單基因分析法（每對(duì)基因單獨(dú)分析），若他們?cè)偕蟠瑒tTt×tt1/2Tt，即多指的概率是1/2；Aa×Aa1/4aa，即白化病的概率是1/4。 ⑵生下一個(gè)孩子同時(shí)患兩種病的概率：P多指（1/2Tt）又白化（1/4aa）=1/2×1/4=1/8（乘法原理）。 ⑶生下一個(gè)孩子只患一種病的概率=1/2 +1/4—1/8×2=1/2或1/2×3/4+1/4×1/2=1/2（加法原理和乘法原理）。 ⑷生下一個(gè)孩子患病的概率=1/2 +1/4—1/8×1=5/8（加法原理和乘法原理）。
正確答案：A。
六、數(shù)學(xué)中集合的方法
例題6、一對(duì)夫婦的子代患遺傳病甲的概率是a，不患遺傳病甲的概率是b；患遺傳病乙的概率是c，不患遺傳病乙的概率是d。那么下列表示這對(duì)夫婦生出只患甲、乙兩種病之一的概率的表達(dá)式正確的是：
A、ad＋bc B、1－ac－bd C、a＋c－2ac D、b＋d －2bd
解析：該題若用遺傳病系譜圖來(lái)解比較困難，若從數(shù)學(xué)的集合角度入手，用作圖法分析則會(huì)化難為易。下面我們先做出圖1來(lái)驗(yàn)證A表達(dá)式，其中大
圓表示整個(gè)后代，左小圓表示患甲病，右小圓表示患乙病，
則兩小圓的交集部分表示患甲、乙兩種病（ac）兩小圓除去交
集部分表示只患甲病（ad）或乙病（bc），則只患一種病的概率
關(guān)鍵詞：遺傳概率的計(jì)算法、加法定理、乘法定理
《高中生物》遺傳部分是全書(shū)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是歷年高考、會(huì)考的熱點(diǎn)。注重遺傳分析的方法和正確理解遺傳概率的提問(wèn)是解決這一難題的關(guān)鍵和突破口。
在高中階段所計(jì)算的遺傳概率基本上是屬于孟德稱規(guī)律的遺傳概率。而遺傳概率的計(jì)算主要依據(jù)概率的兩個(gè)基本定理，即加法定理和乘法定理。
1、加法定理
兩個(gè)互斥事件中，出現(xiàn)任一事件的概率是它們各自概率之和，所謂互斥事件即指兩者不能同時(shí)出現(xiàn)的事件。如A事件的發(fā)生就不能出現(xiàn)B事件，而B(niǎo)事件的發(fā)生同時(shí)也不能出現(xiàn)A事件，那么A事件或B事件的概率即為二者概率之和，即：P（A+B）=P（A）+（B）。如基因型為Aa的個(gè)體，在形成配子時(shí)，按照孟氏規(guī)律A和a分離，進(jìn)入特定配子的基因非A即a ，機(jī)會(huì)均等各為1/2的概率。它們是兩個(gè)互斥事件，形成A 或a 型配子的概率是P（A+a）=P（A）+P（a）=1/2+1/2=1
2、乘法定理
兩個(gè)獨(dú)立的事件，同時(shí)或相繼發(fā)生的概率是各自概率的乘積，設(shè)一事件的概率為P（A），另一事件的概率為P（B），A事件和B事件同時(shí)發(fā)生的概率為P（AB）=P（A）*P（B），如基因型為A a的個(gè)體自交或者雜交，據(jù)孟氏規(guī)律形成A與 a兩種類型的配子，且它們的概率各為1/2。那么雌雄配子各自做為獨(dú)立事件相遇形成各種基因的概率為：
P（AA）=P（A）*P（A）=（1/2）*（*1/2）=1/4
P（aa）=P（a）*P（a）=（1/2）*（1/2）=1/4
P（Aa）=P（A）*P（a）=（1/2）*（1/2）=1/4
P（aA）=P（a）*P（A）=（1/2）*（1/2）=1/4
而P（Aa）=P（Aa）+P（aA）=1/4+1/4=1/2
一、遺傳分析的方法
掌握了正確的遺傳分析的方法，對(duì)于遺傳概率的計(jì)算找到了突破口和正確的思路。同時(shí)也是確保計(jì)算概率正確的關(guān)鍵。
A、直接法
此方法就是直接根據(jù)題意要求，進(jìn)行遺傳分析，運(yùn)用加、乘法定理，直接計(jì)算出所要求的遺傳概率。
例：具有兩對(duì)相對(duì)性狀的一個(gè)純合顯性親本和一個(gè)雜合親本雜交。其子代中具有與兩個(gè)親本基因型都不相同的個(gè)體所占幾率？
解析：據(jù)題意，可假設(shè)控制這兩對(duì)相對(duì)性狀的兩對(duì)等對(duì)基因是（Y，y）和（R，r），所以親本的基因型為：YYRR和YyRr。據(jù)孟氏規(guī)律，純合顯性親本只產(chǎn)生一種類型的配子，其概率P1（YR）=P（Y）*P（R）=1*1=1雜合親本所產(chǎn)配子類型四種，其各自概率為別為：
P2（YR）=P（Y）*P（R）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（Yr）=P（Y）*P（r）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（yR）=P（y）*P（R）=（1/2）*（1/2）=1/4
P2（yr）=P（y）*P（r）=（1/2）*（1/2）=1/4
因此子代基因型的概率為：
P（YYRr）=P1（YR）*P2（Yr）=1*（1/4）=1/4
P（YYRR）=P1（YR）*P2（YR）=1*（1/4）=1/4
P（YyRR）=P1（YR）*P2（yR）=1*（1/4）=1/4
P（YyRr）=P1（YR）*P2（yr）=1*（1/4）=1/4
由上可知，不同于親本的基因型概率是：
P（YYRr）+P（YyRR）=1/4+1/4=1/2
B、顯性法
此方法是在人類遺傳系分析中常用的一種方法。根據(jù)家系譜圖的特點(diǎn)和顯性遺傳的特點(diǎn)，首先判斷出該家系的遺傳屬于哪類顯性遺傳（常雜色體的顯性遺傳，伴X的顯性遺傳），再由患病的個(gè)體開(kāi)始，結(jié)合該個(gè)體的父母及子女的表現(xiàn)型或性別寫(xiě)出他們（她們）相應(yīng)的基因型或者可能的基因型。最后由直接法計(jì)算出所要求的概率。
例：圖1人類家系譜中，如果Ⅲ2與Ⅲ3個(gè)體再生一個(gè)孩子是患病男孩的可能性大小？
圖1
解析：
（1）由Ⅲ4和Ⅲ5生出Ⅳ2，根據(jù)“有中生無(wú)”可確定是顯性遺傳病。
（2）在顯性遺傳前提下，世代中出現(xiàn)的Ⅱ2和Ⅲ1符合“父病女正”可確定是常染色體遺傳病。因此該系譜所示遺傳病為常雜色的顯性遺傳。假設(shè)顯性致病基因?yàn)镈。正常基因?yàn)閐，則可寫(xiě)出Ⅲ3的基因型為dd，Ⅲ2為Dd，據(jù)孟氏規(guī)律Ⅲ2產(chǎn)生兩種配子，即D和d，其概率為：P2（D）=1/2 P2（d）=1/2，Ⅲ3個(gè)體產(chǎn)生一種配子，概率為：P3（d）=1
因此所生子女患病的基因型為：P（Dd）=P2（D）*P3（d）=（1/2）*1=1/2，而常雜色體的顯隱性遺傳特點(diǎn)之一是：男女患病機(jī)會(huì)相等各為1/2。所以這對(duì)婦夫再生一個(gè)孩子為患病男孩的可能性為：（1/2）*（1/2）=1/4。
C、隱性法
此方法也是人類遺傳系譜分析中常用的一種方法。根據(jù)家系系譜圖的特點(diǎn)和隱性遺傳的特點(diǎn)，首先判斷出該家系遺傳屬于哪類遺傳（常染色體的隱性遺傳，伴X的隱性遺傳），然后由患病的個(gè)體開(kāi)始，得出他們（她們）父母可能的基因型，再由直接法計(jì)算出所求的概率。
圖2
例：圖2為血友家系系譜圖。設(shè)該病受一對(duì)等位基本控制，顯性基因H，隱性基因h，若13號(hào)個(gè)體與一個(gè)正常男性結(jié)婚。頭胎生一個(gè)患病男孩的幾率？
解析：據(jù)題意可知，血友病遺傳屬伴X隱性遺傳，由系譜圖可得患病個(gè)體為1，11和14號(hào)個(gè)體，從11和14號(hào)兩患病個(gè)體開(kāi)始，結(jié)合他們父母的表現(xiàn)型及性別直接寫(xiě)出14號(hào)個(gè)體的基因型為：XhY，8號(hào)個(gè)體基因型為：XHY，7號(hào)個(gè)體基因型為經(jīng)XHXh。據(jù)孟氏規(guī)律和伴性遺傳理論，13號(hào)個(gè)體表現(xiàn)正常且為女性。因此其基因型可能為XHXh和XHXH而各自概率：
P（XHXh）=P（XH）*P（Xh）=1*（1/2）=1/2
P（XHXH）=P（XH）*P（XH）=1*（1/2）=1/2
其中XHXh產(chǎn)生配子時(shí)P（XH）=1/2，由于該基因型概率P （XHXh）=1/2，所以產(chǎn)生含致病基因Xh配子的概率應(yīng)為P（Xh）=（1/2）*（1/2）=1/4，XHXH形成配子時(shí)，不能產(chǎn)生含致病基因Xh的配子，其概率應(yīng)為P（Xh）=（1/2）*0=0，而與13號(hào)個(gè)體婚配的正常男性基因型為XHY，產(chǎn)生含Y的配子概率為P（Y）=1/2，因此XHXh*YHY生患病男孩概率P1（XhY）=P（Xh）*P（Y）=（1/4）*（1/2）=1/8，而XHXH*XHY生患病男孩概率則為：P2（XhY）=P（Xh）*P（Y）=0*（1/2）=0，對(duì)于13號(hào)個(gè)體而言基因型XHXh和XHXH不能同時(shí)出現(xiàn)，它們?yōu)榛コ馐录Ｓ眉臃ǘɡ砜傻谩；疾∧泻⒌膸茁蕬?yīng)是：P（XhY）=P1（XhY）+P2（XhY）=1/8+0=1/8
二、正確理解遺傳概率的提問(wèn)
在注意遺傳分析方法的同時(shí)，還要正確理解遺傳概率的提問(wèn)，這直接涉及到概率計(jì)算的正確性。
例：用純合的高莖豌豆與純合矮莖豌豆雜交得F1，F(xiàn)1自交得F2，F(xiàn)2高莖豌豆自交后代中矮莖豌豆占：
A.3/8 B.1/4 C.1/6 D.1/8
解析：首先用直接法對(duì)該題進(jìn)行遺傳分析，假設(shè)控制高莖與矮莖這一對(duì)相對(duì)性狀的等位基因?yàn)镈和d，并得出其遺傳圖解如圖3：
在遺傳學(xué)教學(xué)過(guò)程中，概率問(wèn)題是一個(gè)頗為棘手的問(wèn)題，特別是親本自由子代基因型頻率和形狀分離比的計(jì)算，更讓學(xué)生困惑不解。什么情況下親本自由需要乘以2？如何確定自由親本基因型的系數(shù)？基因位于X染色體上該如何計(jì)算？等一系列的問(wèn)題。本人根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把親本自由子代概率及性狀分離比的計(jì)算方法與步驟歸納整理如下，供大家參考。
一、基因位于常染色體上
二、基因位于X染色體上
例：果蠅的紅眼和白眼是X染色體上的一對(duì)等位基因控制的相對(duì)性狀，用一對(duì)紅眼雌、雄果蠅，子一代中出現(xiàn)白眼果蠅。讓子一代果蠅自由，理論上子二代果蠅中XBXb的比例、紅眼與白眼的性狀分離比分別是多少？
方法1：根據(jù)子一代的雌雄個(gè)體的基因型頻率，分別求出子一代雌雄個(gè)體的基因頻率，根據(jù)雌雄配子結(jié)合的結(jié)合均等，分別求出雌雄后代中出現(xiàn)的比例或子代的性狀分離比。
分析：由紅眼雌雄果蠅子一代出現(xiàn)白眼果蠅，可知紅眼（A）對(duì)白眼（a）為顯性，又因?yàn)榭刂蒲凵幕蛟赬染色體上，可知親本的基因型分別是XAXa，XAY，F(xiàn)1代地基因型為XAXA，XAXa，XAY，XaY。
即F2中 紅眼：白眼=13：3
通過(guò)對(duì)上述兩個(gè)例題的分析可知，在自由的群體中，若基因位于常染色體上，采用親本的基因頻率求子代的基因型頻率及性狀分離比較簡(jiǎn)單易行。若基因位于X染色體上，用親本親本基因頻率計(jì)算子代的基因頻率雖然簡(jiǎn)單，但在計(jì)算中容易把某種基因型在雄性或雌性中的頻率，誤當(dāng)做在整個(gè)群體中的頻率，得出錯(cuò)誤的計(jì)算結(jié)果，因此計(jì)算時(shí)應(yīng)特別注意。
（作者單位：山東省郯城第一中學(xué)）
1 模型原型
【例1】 （2012·江蘇卷）人類遺傳病調(diào)查中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)家系中都有甲遺傳病（基因?yàn)镠、h）和乙遺傳病（基因?yàn)門(mén)、t）患者，系譜圖如圖1所示。以往研究表明在正常人群中Hh基因型頻率為10-4。請(qǐng)回答下列問(wèn)題（所有概率用分?jǐn)?shù)表示）：
如果Ⅱ7與Ⅱ8再生育一個(gè)女兒，則女兒患甲病的概率為 。
答案：1/60 000。
解析：根據(jù)系譜圖中正常的Ⅰ1和Ⅰ2的后代中有一個(gè)女患者Ⅱ2，說(shuō)明甲病為常染色體隱性遺傳。Ⅱ7的基因型為H，其中HH占1/3，Hh占2/3。根據(jù)題意，正常人群中Hh的基因型頻率為10-4，也就是Ⅱ8基因型為H-的概率。故女兒患甲病的概率=2/3×10-4×1/4=1/60 000。
點(diǎn)撥：基因頻率與遺傳系譜圖結(jié)合的概率計(jì)算模型的原型是遺傳系譜圖中的個(gè)體與自然人群中的個(gè)體，且自然人群中的相關(guān)個(gè)體基因型頻率已知。在遺傳系譜圖中根據(jù)親子代關(guān)系計(jì)算相關(guān)個(gè)體基因型的概率后，直接結(jié)合自然人群中相關(guān)個(gè)體基因型頻率運(yùn)用乘法原理求解。
2 模型拓展
【例2】 （2013·安徽卷）圖1是一個(gè)常染色體遺傳病的家系系譜。致病基因（a）是由正常基因（A）序列中一個(gè)堿基對(duì)的替換而形成的。
一個(gè)處于平衡狀態(tài)的群體中a基因的頻率為q。如果Ⅱ2與一個(gè)正常男性隨機(jī)婚配，他們第一個(gè)孩子患病的概率為 。如果第一個(gè)孩子是患者，他們第二個(gè)孩子正常的概率為 。
答案：q/3（1+q） 3/4
解析：Ⅱ2的基因型是A_，其中Aa占2/3，AA占1/3。一個(gè)處于平衡狀態(tài)的群體中a基因的頻率為q，則AA的頻率為（1-q）2，Aa的頻率為2（1-q）q。正常男性中Aa的概率為Aa/（AA+Aa）=2（1-q）q/[（1-q）2+2（1-q）q]=2q/（1+q），則他們第一個(gè)孩子患病的概率為2/3×2q/（1+q）×1/4=q/[3（1+q）]。如果第一個(gè)孩子是患者，則Ⅱ2與正常男性的基因型均為Aa，他們第二個(gè)孩子正常的概率為3/4。
點(diǎn)撥：模型拓展較原型的區(qū)別在自然人群中的相關(guān)基因型個(gè)體的概率未知。先按照哈溫平衡計(jì)算此概率，再按照親子代關(guān)系計(jì)算遺傳系譜圖中相關(guān)基因型個(gè)體的概率，最后結(jié)合自然人群中相關(guān)個(gè)體基因型頻率運(yùn)用乘法原理求解。
3 模型演練
圖3為患甲病（顯性基因A，隱性基因a）和乙病（顯性基因B，隱性基因b）兩種遺傳病的系譜，Ⅱ3和Ⅱ8兩者的家庭均無(wú)乙病史。
假設(shè)某地區(qū)人群中每10 000人當(dāng)中有1 900個(gè)甲病患者，若Ⅲ12與該地一女子結(jié)婚，則他們生育一個(gè)患甲病男孩的概率為 。
答案：1/60 000
解析：某地區(qū)人群中每10 000人當(dāng)中有1 900個(gè)甲病患者，不患甲病的是10 000-1 900=8 100，所以aa的概率是8 100/10 000=0.81，由此算出a的基因頻率是0.9，的基因頻率是0.1。Ⅲ12的基因型是A_，其中Aa占2/3，AA占1/3。
方法一（配子法）：Ⅲ12產(chǎn)生配子的種類及比例是A占2/3，a占1/3;自然人群中A占0.1，a占0.9。所以若Ⅲ12與該地一女子結(jié)婚后代不患病的概率是aa=1/3×0.9=0.3，后代患病的概率是1-0.3=0.7，故后代患病男孩的概率是0.7×1/2=0.35。 本文由wWW.dyLw.NeT提供，第一論 文 網(wǎng)專業(yè)教育教學(xué)論文和以及服務(wù)，歡迎光臨dYLw.nET
為了能夠了解導(dǎo)體內(nèi)電荷的分布概況，利用麥克斯韋方程組中電場(chǎng)積分式，令其電場(chǎng)強(qiáng)度與閉環(huán)回路（或封閉空間）的積分和為零的理念，建立坐標(biāo)模型和數(shù)學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)算求得分布概率結(jié)果所采用的一種方法。
【關(guān)鍵詞】麥克斯韋方程積分式 導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零 電荷分布概率
導(dǎo)體中電荷的分布與改變和外布電場(chǎng)的強(qiáng)弱與變化是一對(duì)統(tǒng)一的理論體系。電荷的分布是產(chǎn)生電場(chǎng)分布的根源，而電場(chǎng)反過(guò)來(lái)左右電荷的分布，是一對(duì)立的統(tǒng)一體。因此對(duì)電荷分布的研究與對(duì)電場(chǎng)的分析具有相同的重要意義。
當(dāng)導(dǎo)體中存儲(chǔ)電荷處于穩(wěn)定時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部處處電場(chǎng)力的和應(yīng)為零。否則有任何電場(chǎng)的存在都會(huì)引起電荷的移動(dòng)（重新分布）。我們利用麥克斯韋方程組中電場(chǎng)積分式令其等于零，即
來(lái)建立數(shù)學(xué)模型或公式計(jì)算出電荷的分布概率。
1 為了更好地理解這種方法先闡述幾個(gè)基本概念
1.1 測(cè)試電荷點(diǎn)
測(cè)試電荷點(diǎn)q是指在帶電導(dǎo)體內(nèi)靜態(tài)下，測(cè)量某點(diǎn)處電場(chǎng)大小、方向的電荷。其電量小到不影響此處的電場(chǎng)狀態(tài)。其方向是q為正時(shí)順勢(shì)而下（電場(chǎng)箭頭的方向）；q為負(fù)時(shí)逆勢(shì)而上（電場(chǎng)箭頭的反方向）。
1.2 庫(kù)侖定律
。其中Q1、Q2為兩個(gè)電荷體的電荷量；l為Q1Q2之間距離；k為庫(kù)侖常數(shù)。
1.3 麥克斯韋方程積分式
或原式是說(shuō)明在任何平面環(huán)路和電場(chǎng)積分與本環(huán)內(nèi)磁場(chǎng)變化率的關(guān)系或任何封閉的空間電場(chǎng)通量與所含電荷量的關(guān)系。我們利用電場(chǎng)的積分式并令其在導(dǎo)體中某點(diǎn)等于零（導(dǎo)體是有限的封閉空間），根據(jù)庫(kù)侖定律
；f（ρ）為分布體密度函數(shù)、
；f（σ）為分布面密度函數(shù)、
；f（x）為分布線密度函數(shù)。并且導(dǎo)體內(nèi)處處應(yīng)為零，計(jì)算出電荷的分布概率。
1.4 容余電荷
導(dǎo)體本身是存有正負(fù)電荷元素，而容余電荷是在正負(fù)電荷失去平衡或電勢(shì)不為零時(shí)產(chǎn)生出電場(chǎng)的多余電荷。所以容余電荷或者是正電荷或者是負(fù)電荷。
2 為了驗(yàn)證一下應(yīng)用效果下面舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子
2.1 例1：一根極細(xì)而有限長(zhǎng)帶電導(dǎo)線軸向的電荷分布概率
如圖1，在一根長(zhǎng)度為b容余電荷量為Qs的細(xì)導(dǎo)線上，在無(wú)任何電磁干擾的理想環(huán)境下，忽略其徑向因素，只考慮軸向電荷分布概率。為了運(yùn)算方便和結(jié)果比較，將b分別分為3段、4段、5段、6段、7段、19段。每段平均分為2個(gè)長(zhǎng)，每2個(gè)之間分別設(shè)定電荷點(diǎn)Q1、Q2、Q3等，其電量分別是其所處2個(gè)所儲(chǔ)電量和Qi=2σi（i=1、2、3…n），
（σi線密度；n為分段數(shù)）。每?jī)蓚€(gè)電荷點(diǎn)之間設(shè)定測(cè)量點(diǎn)q1、q2等，根據(jù)庫(kù)侖定律和麥克斯韋方程組中電場(chǎng)積分式，可以看出實(shí)際上每處測(cè)試點(diǎn)左邊電場(chǎng)強(qiáng)度與右邊的和為零時(shí)，任何軸向閉環(huán)積分和必定為零。因此建立各測(cè)試點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為零的數(shù)學(xué)模型即方程組與Qs函數(shù)關(guān)系式。
2.1.1 當(dāng)b分為3段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：
因在同一介質(zhì)中庫(kù)侖比例系數(shù)K為同一值，約去k、q、求得方程組的解
2.1.2 如圖2，當(dāng)b分為4段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：
約去k、q、求得方程組的解
2.1.3 如圖3，當(dāng)b分為5段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：
約去k、q、求得方程組的解
2.1.4 如圖4，當(dāng)b分為6段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：
約去k、q、求得方程組的解
2.1.5 如圖5，當(dāng)b分為7段時(shí)數(shù)學(xué)模型如下：
約去k、q、求得方程組的解
圖6、圖7為正、負(fù)電荷7段的分布概率。
2.1.6 如圖8，當(dāng)b分為19段時(shí)求得方程組的解如下：
2.2 例2：一根極細(xì)一端有端頭一端無(wú)限長(zhǎng)的帶電導(dǎo)線在端頭處的電荷分布概率
如圖9，在無(wú)任何電磁干擾的理想環(huán)境下，導(dǎo)線上儲(chǔ)存有電荷Qs。忽略其徑向分布情況，只考慮軸向分布概率。
設(shè)端點(diǎn)為A，從點(diǎn)A向另一端劃分出若干個(gè)極小間距，在每?jī)蓚€(gè)中間設(shè)定點(diǎn)電荷 Q1Q2Q3等每個(gè)Q代表這兩個(gè)的電量和Qi=2σi（i=1、2、3…）。在每?jī)蓚€(gè)Q中間設(shè)定點(diǎn)測(cè)試點(diǎn)q1q2q3等，在只考慮軸向時(shí)，每個(gè)測(cè)試點(diǎn)左右側(cè)的電場(chǎng)強(qiáng)度和應(yīng)為零。即軸向環(huán)路必為零。
根據(jù)庫(kù)侖定律在q1點(diǎn)處建立數(shù)學(xué)模型：
（i=1、2、3…） （ 約去k、q、）得
而且Qs越大
越大Q1與Q2差值也越大。從例1的運(yùn)算結(jié)果得知兩個(gè)端頭的電荷密度向中心是逐漸遞減的。類似于本例題A端向另一端的電荷密度同樣也是遞減的。只不過(guò)將例1中b的長(zhǎng)度無(wú)限延長(zhǎng)了一端。
2.3 例3：一個(gè)無(wú)根大的理想帶電平面中心范圍的電荷分布概率
如圖10，在無(wú)任何電磁干擾的理想環(huán)境下，在一個(gè)無(wú)根大的理想平面上分布有密度為σi的容余電荷，處于靜態(tài)時(shí)在中心范圍內(nèi)確定任意兩個(gè)點(diǎn)A、B，沿AB兩點(diǎn)畫(huà)一條向兩邊無(wú)限延長(zhǎng)的直線。根據(jù)麥克斯韋積分式沿此直線軸向閉環(huán)與電場(chǎng)強(qiáng)度積分應(yīng)為零。設(shè)分別以AB為圓心
為半徑畫(huà)兩個(gè)圓，由于非常小可以把兩個(gè)圓看成兩個(gè)點(diǎn)電荷。根據(jù)庫(kù)侖定律，則AB中間點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)為：
其中：q為測(cè)試電荷點(diǎn)；σi為單位面積電荷密度；r為直線及其延長(zhǎng)線的距離；σAi為A邊直線上電荷密度；σBi為B邊直線上電荷密度；A-B為A到B的距離；k為庫(kù)侖常數(shù)。
\算（1）式得：
由于無(wú)限大平面中的電荷是連續(xù)分布的、無(wú)間斷點(diǎn)。由例1得知σAi=σBi，因此σA=σB。
充分性：由于AB點(diǎn)可任意確定中心范圍的每個(gè)點(diǎn)和各個(gè)方向。因此，中心范圍的電荷密度值是一樣的。
必要性：在平面上AB中間點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度會(huì)不會(huì)受到除此直線以外任何其它電荷的影響呢？肯定是不會(huì)的。因任何一處除直線以外電荷的作用，都可以找到以AB中間點(diǎn)為圓點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)處電荷的作用，大小相同、方向與前一處電荷作用向反。在AB中間點(diǎn)處影響力為零。
3 結(jié)論
經(jīng)過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單例子運(yùn)算結(jié)果和分析得知：
（1）對(duì)一根長(zhǎng)度有限的帶電細(xì)導(dǎo)線電荷密度計(jì)算通過(guò)表1看出：
a.有限長(zhǎng)線段電荷分布概率是兩邊密度大于中心。
b.有限長(zhǎng)線段電荷分布概率是兩邊對(duì)稱的。
c.與儲(chǔ)存電荷Qs有關(guān)系；與b的長(zhǎng)度有關(guān)系。
d.越小分段越多越精準(zhǔn)化兩端電荷密度值越高，中間越平緩。
此外，在電荷進(jìn)行交流時(shí)變時(shí)，兩頭的電荷量和電場(chǎng)變化最大，其磁場(chǎng)變化也最大，非常適合電磁信號(hào)的發(fā)射。如過(guò)去軍用便攜式步話機(jī)的天線就采用叉開(kāi)線段狀導(dǎo)體。并且接收信號(hào)天線的采集信號(hào)點(diǎn)都處于端頭。
（2）對(duì)一根一端有端頭一端無(wú)限長(zhǎng)的帶電細(xì)導(dǎo)線計(jì)算得知，在端頭處的電荷密度最高。而且?guī)щ娏縌s越大會(huì)更高。而避雷針接入大地的原理，就是利用地球巨大的Qs使針頭的電荷密度及其電場(chǎng)強(qiáng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其它地方，從而起到引雷電入地的作用。
（3）無(wú)限大理想平面帶電導(dǎo)體中，在無(wú)任何電磁干擾下，中心范圍電荷密度值處處相同。這與帶電平板電容中心區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度值處處一樣是一致的。
從上述的運(yùn)算結(jié)果和現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用的吻合程度，說(shuō)明此方法是能夠表述導(dǎo)體中靜態(tài)電荷的分布概率。
有不對(duì)之處請(qǐng)多提建議。
參考文獻(xiàn)
[1]迪派克（Dipak，L.S）唯迪斯（Valdis，V.L）著；沈遠(yuǎn)茂等譯.應(yīng)用電磁學(xué)與電磁兼容[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009.
[2]汪泉弟，張淮清.電磁場(chǎng)[M].北京：科學(xué)出版社，2013.
[3]張洪欣，沈遠(yuǎn)茂，韓宇南.電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京：清華大學(xué)出版社，2013.
本文作者：李菲1，2，3侯再紅1吳毅1作者單位：1中國(guó)科學(xué)院安徽光學(xué)精密機(jī)械研究所大氣成分與光學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室2中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院光學(xué)與光學(xué)工程系3電子工程學(xué)院光電系脈沖功率激光技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室
光強(qiáng)概率分布
通常認(rèn)為在弱湍流條件下，光強(qiáng)起伏的概率密度滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，而在中、強(qiáng)湍流條件下則服從Gamma－Gamma分布［9］。對(duì)于通信距離幾千米以內(nèi)的無(wú)線光通信系統(tǒng)，考慮到孔徑平均效應(yīng)，光強(qiáng)起伏一般都看作弱起伏，服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。饒瑞中等［11］曾提出：根據(jù)湍流大氣中激光對(duì)數(shù)強(qiáng)度的最低幾階中心矩，可以建立一種能準(zhǔn)確地描述實(shí)際概率分布的最大似然概率分布模型。通常，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的高階矩的精度是較低的，只有較低級(jí)次的矩比較可靠。它應(yīng)滿足歸一化條件，即μ0等于1。由歸一化條件和4個(gè)矩方程構(gòu)成5個(gè)未知系數(shù)λ0、λ1、λ2、λ3和λ4的非線性積分方程組。借助于五階矩μ5和六階矩μ6，再根據(jù)（9）式的形式推斷它在無(wú)窮大時(shí)以指數(shù)趨于零，使用分部積分法可以得到λi的方程組，解得此方程組后系數(shù)λ0可以通過(guò)數(shù)值積分求得。
實(shí)驗(yàn)結(jié)果
本文的實(shí)驗(yàn)使用波長(zhǎng)為670nm的半導(dǎo)體激光器作為發(fā)射光源，使用口徑100mm的卡塞格倫望遠(yuǎn)鏡作為接收天線，APD探測(cè)器被安放在望遠(yuǎn)鏡焦點(diǎn)附近；探測(cè)器輸出的信號(hào)被接入8位數(shù)據(jù)采集卡，由計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行采集和閾值判決。激光水平傳輸距離為1km，傳輸路徑距離地面約10m，水面和陸地約各占一半。在提取數(shù)據(jù)過(guò)程中，時(shí)鐘信號(hào)的累計(jì)誤差可能導(dǎo)致數(shù)據(jù)的錯(cuò)位，因此使用連續(xù)激光來(lái)模擬一段時(shí)間的全“1”信號(hào)，而使用光闌阻斷光路來(lái)模擬一段時(shí)間的全“0”信號(hào)，將兩組數(shù)據(jù)的誤碼累加起來(lái)作為最終誤碼結(jié)果。實(shí)驗(yàn)時(shí)間選擇在9月份的晴朗天氣，持續(xù)進(jìn)行24h，信號(hào)采集頻率為10MHz，每次采集2×108個(gè)樣本點(diǎn)，相鄰兩次采集相隔30min。由于經(jīng)歷了全天的變化，對(duì)數(shù)光強(qiáng)起伏方差跨越了近兩個(gè)數(shù)量級(jí)，但是仍然滿足弱起伏條件。由于誤碼率中虛警概率Pfalse不受湍流影響，使用正態(tài)分布計(jì)算的結(jié)果與擬合分布沒(méi)有差別，因此本文主要研究光強(qiáng)起伏對(duì)漏警概率Pmiss的影響。計(jì)算中使用的參數(shù)i0、i1（1）和σ20是通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理獲得，其中i0和σ20分別為全“0”數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)均值和方差，而i1（1）在忽略光束擴(kuò)展的影響時(shí)可以認(rèn)為與全“1”數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)均值〈i1〉相等。（5）式中的參數(shù)2eBMF可以通過(guò)事先的系統(tǒng)標(biāo)定得到，具體做法是：在無(wú)湍流影響的實(shí)驗(yàn)室環(huán)境中，使用探測(cè)器接收高穩(wěn)定度激光器輸出的連續(xù)激光并采集數(shù)據(jù)，對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)均值和方差進(jìn)行線性擬合，所得擬合直線的斜率即可作為參數(shù)2eBMF進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于實(shí)際大氣湍流，單純根據(jù)對(duì)數(shù)起伏方差σ2lnI衡量起伏強(qiáng)度并不可靠。由（6）式可知，除了平均信噪比和對(duì)數(shù)起伏方差，光強(qiáng)概率分布函數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響也有較大的影響。圖1為在平均信噪比〈R1SN〉＝6、對(duì)數(shù)起伏方差σ2lnI＝0．035的條件下，同一天內(nèi)兩個(gè)不同時(shí)刻實(shí)測(cè)的漏警概率曲線。圖中縱坐標(biāo)為漏警概率Pmiss，橫坐標(biāo)為歸一化判決閾值iT／〈i1〉，空心圓點(diǎn)對(duì)應(yīng)的樣本采集于凌晨3：00，實(shí)心圓點(diǎn)對(duì)應(yīng)的樣本采集于中午12：00。可以看出即使平均信噪比和對(duì)數(shù)起伏方差相同，系統(tǒng)性能仍然會(huì)由于光強(qiáng)概率分布的變化而產(chǎn)生幾個(gè)數(shù)量級(jí)的波動(dòng)。圖2是實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)以及使用（7）式和（10）式計(jì)算得到的概率分布直方圖。圖中橫坐標(biāo)為S，縱坐標(biāo)代表S值落在某一區(qū)間內(nèi)的概率，空心圓點(diǎn)代表從2×108個(gè)實(shí)測(cè)樣本點(diǎn)直接獲得的概率分布直方圖，實(shí)線代表用極大似然擬合分布計(jì)算的結(jié)果，虛線代表使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布計(jì)算所得結(jié)果，其中圖2（a）和（b）所用樣本對(duì)應(yīng)的σ2lnI都為0．014。通過(guò)對(duì)大量數(shù)據(jù)的分析，可以看出大部分情況下正態(tài)分布和擬合分布與實(shí)際分布都比較接近，但是在某些情況下正態(tài)分布與實(shí)際分布的偏差較大，這也將導(dǎo)致漏警概率計(jì)算中的較大偏差。圖3是24h內(nèi)正態(tài)分布、擬合分布的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)樣本之間的相關(guān)系數(shù)變化曲線。圖中實(shí)線代表正態(tài)分布與實(shí)測(cè)樣本之間的相關(guān)系數(shù)，虛線代表擬合分布與實(shí)測(cè)樣本之間的相關(guān)系數(shù)。總的來(lái)說(shuō)，大部分情況下正態(tài)分布模型可以較好地描述實(shí)際分布，但是在某些時(shí)刻實(shí)際分布明顯偏離正態(tài)分布，而擬合分布具有更高的相關(guān)性，以此分布模型進(jìn)行仿真計(jì)算可以得到更準(zhǔn)確的結(jié)果。圖4為不同起伏強(qiáng)度條件下根據(jù)（6）式分別按照正態(tài)分布和擬合分布計(jì)算的漏警概率曲線。圖中空心圓點(diǎn)代表從2×108個(gè)實(shí)測(cè)樣本點(diǎn)直接獲得的漏警概率，實(shí)線代表按照擬合分布計(jì)算的結(jié)果，虛線代表按照正態(tài)分布計(jì)算的結(jié)果。由于采樣數(shù)據(jù)總量的限制，實(shí)測(cè)漏警概率的精度無(wú)法超出10－9量級(jí)，圖中漏警概率實(shí)測(cè)值在個(gè)別點(diǎn)上顯示為0，而采集卡的精度限制也導(dǎo)致實(shí)測(cè)漏警概率出現(xiàn)階梯狀。可以看出，隨著對(duì)數(shù)起伏方差的增大和平均信噪比的減小，漏警概率的計(jì)算值和實(shí)測(cè)值都迅速升高，這與之前的研究相吻合；在測(cè)量精度范圍內(nèi)，使用擬合分布計(jì)算的結(jié)果基本上都與實(shí)測(cè)值相吻合，而使用正態(tài)分布計(jì)算的結(jié)果則在某些情況下偏差相對(duì)較大。正態(tài)分布計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值之間的偏差可以通過(guò)光強(qiáng)概率分布的偏斜度和陡峭度反映出來(lái)。偏斜度和陡峭度的絕對(duì)值越小，偏差程度越小，反之亦然；當(dāng)偏斜度為負(fù)時(shí)，實(shí)測(cè)值通常大于正態(tài)分布計(jì)算結(jié)果；當(dāng)偏斜度為正時(shí)，實(shí)測(cè)值通常小于正態(tài)分布計(jì)算結(jié)果。對(duì)此現(xiàn)象可做出如下可能的解釋：通信系統(tǒng)的歸一化判決閾值一般都會(huì)被設(shè)置為0．5或更小。偏斜度和陡峭度的絕對(duì)值越小，實(shí)際概率分布與正態(tài)分布越接近，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值之間的偏差自然越小；當(dāng)偏斜度為負(fù)時(shí)，實(shí)測(cè)光強(qiáng)低于判決閾值的概率大于正態(tài)分布，實(shí)測(cè)漏警概率也自然大于正態(tài)分布計(jì)算結(jié)果。
結(jié)論
在現(xiàn)有模型基礎(chǔ)上，使用極大似然擬合光強(qiáng)概率分布模型取代常用的正態(tài)分布模型，提出了實(shí)際大氣中無(wú)線光通信系統(tǒng)差錯(cuò)性能的修正計(jì)算模型，并進(jìn)行了全天實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。在持續(xù)24h的實(shí)驗(yàn)時(shí)間內(nèi)，大氣湍流在滿足弱起伏的條件下經(jīng)歷了較大范圍的變化。實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，在弱起伏條件下實(shí)測(cè)光強(qiáng)的概率分布大多符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布，但在某些情況下與對(duì)數(shù)正態(tài)分布有著明顯的偏差，而這種偏差導(dǎo)致使用修正模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值也有較大偏差。如果使用極大似然擬合分布替換對(duì)數(shù)正態(tài)分布，修正模型的計(jì)算結(jié)果則與實(shí)測(cè)值比較一致，計(jì)算準(zhǔn)確度有明顯提高。提出的修正模型不僅可用于無(wú)線光通信系統(tǒng)誤碼率的仿真研究，也可以對(duì)工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)和相關(guān)理論研究提供一定參考。只要能夠獲取某地大氣湍流的光強(qiáng)起伏方差和概率分布模型等參數(shù)，并且得到無(wú)線光通信系統(tǒng)的發(fā)射功率、光束發(fā)散角等系統(tǒng)參數(shù)，就可以根據(jù)此模型估算出該系統(tǒng)的誤碼率，這對(duì)于無(wú)線光通信的站點(diǎn)選址也有很大的幫助。由于在實(shí)際工作環(huán)境中，系統(tǒng)性能還會(huì)受到大氣透射率起伏、光束擴(kuò)展以及到達(dá)角起伏等大氣效應(yīng)的影響，極大似然概率分布模型也不足以完全準(zhǔn)確地反應(yīng)光強(qiáng)概率密度分布的特征，因此要對(duì)復(fù)雜環(huán)境下的系統(tǒng)性能進(jìn)行全面評(píng)估，還需要對(duì)激光大氣傳輸理論和光強(qiáng)起伏特征做進(jìn)一步的研究。
【關(guān)鍵詞】風(fēng)險(xiǎn)分析；蒙特卡洛模擬； 投資決策
1 概述
在實(shí)際工作中，用解析法對(duì)工程項(xiàng)目進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析有時(shí)會(huì)遇到困難。例如， 有時(shí)往往沒(méi)有足夠的根據(jù)來(lái)對(duì)項(xiàng)目盈利能力指標(biāo)的概率分布類型做出明確的判斷，或者這種分布無(wú)法用典型的概率分布來(lái)描述。在這種情況下，如果能知道影響項(xiàng)目盈利能力指標(biāo)的不確定因素的概率分布，就可以采用模擬的方法來(lái)對(duì)工程項(xiàng)目進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析。
建設(shè)項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)是項(xiàng)目建議書(shū)和可行性研究報(bào)告的重要組成部分，通過(guò)對(duì)項(xiàng)目的財(cái)務(wù)可行性和經(jīng)濟(jì)合理性進(jìn)行量化計(jì)算、分析論證，為項(xiàng)目的科學(xué)決策提供依據(jù)。同時(shí)也是BOT、TOT等新型特許經(jīng)營(yíng)投融資模式下投資者進(jìn)行項(xiàng)目投資決策的依據(jù)。在項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)中采用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如建設(shè)投資、成本費(fèi)用、產(chǎn)品（服務(wù)）價(jià)格、建設(shè)工期等大部分來(lái)自對(duì)未來(lái)情況的預(yù)測(cè)與估計(jì)，由此得出的評(píng)價(jià)指標(biāo)及做出的決策往往具有一定程度的風(fēng)險(xiǎn)。為了向項(xiàng)目投資決策提供可靠和全面的依據(jù)，在經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)中除了要計(jì)算和分析基本方案的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)外，還需要進(jìn)行不確定性分析和風(fēng)險(xiǎn)分析，并提出規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的對(duì)策。
蒙特卡洛法是一種通過(guò)對(duì)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)、隨機(jī)模擬以求解各類技術(shù)問(wèn)題近似解的數(shù)學(xué)方法，其特點(diǎn)是用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上模擬實(shí)際概率過(guò)程，然后加以統(tǒng)計(jì)處理，解決具有不確定性的復(fù)雜問(wèn)題。解決經(jīng)濟(jì)上的隨機(jī)概率問(wèn)題，蒙特卡洛法被公認(rèn)為是一種經(jīng)濟(jì)而有效的方法，在投資項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)分析中很有實(shí)用價(jià)值。本文試以某建筑企業(yè)一期工程為例，利用計(jì)算機(jī)編制程序，嘗試蒙特卡洛模擬技術(shù)在建筑工程項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)分析中的應(yīng)用。
2 項(xiàng)目概況
某建筑企業(yè)一期工程項(xiàng)目采用BOT模式，目前仍在進(jìn)行設(shè)計(jì)及招投標(biāo)階段。按照初步設(shè)計(jì)概算結(jié)果，該建筑企業(yè)一期工程建設(shè)投資213．75萬(wàn)元，流動(dòng)資金515．37萬(wàn)元，年經(jīng)營(yíng)成本3066．50萬(wàn)元。
根據(jù)項(xiàng)目實(shí)施計(jì)劃，本工程建設(shè)期為3年，各年度投資使用比例為22％：42％：36％；生產(chǎn)運(yùn)營(yíng)期按照經(jīng)濟(jì)使用年限設(shè)定為20年，固定資產(chǎn)殘值率為4％；年銷售收入預(yù)計(jì)為6570萬(wàn)元，經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)不計(jì)算增值稅，只計(jì)取城市建設(shè)維護(hù)稅、教育費(fèi)附加和防洪基金；基準(zhǔn)收益率按目前建筑行業(yè)內(nèi)部收益率標(biāo)準(zhǔn)取4％，以財(cái)務(wù)內(nèi)部收益率大于基準(zhǔn)收益率為項(xiàng)目可行。按照以上基礎(chǔ)數(shù)據(jù)進(jìn)行財(cái)務(wù)分析，得稅前財(cái)務(wù)內(nèi)部收益率為5．38％、投資回收期（含建設(shè)期）4.77年，財(cái)務(wù)凈現(xiàn)值（i=4％）為5234萬(wàn)元，均能滿足財(cái)務(wù)最低要求，從財(cái)務(wù)分析的角度認(rèn)為項(xiàng)目是可行的。
3 模擬過(guò)程
蒙特卡洛模擬法的實(shí)施步驟一般是：確定風(fēng)險(xiǎn)變量，分析每一變量可能變化的范圍并確定這些變化的概率分布，構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)變量的概率分布模型；通過(guò)模擬試驗(yàn)，為各風(fēng)險(xiǎn)變量抽取隨機(jī)數(shù)，并將隨機(jī)數(shù)按照概率分布模型轉(zhuǎn)化為變量的抽樣值；將抽樣值組成一組經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，計(jì)算出評(píng)價(jià)指標(biāo)值；最后重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，進(jìn)行若干次模擬后整理試驗(yàn)結(jié)果所得項(xiàng)目評(píng)價(jià)指標(biāo)值的期望值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和它的概率分布及累計(jì)概率，繪制累計(jì)概率圖，即可求出項(xiàng)目可行或不可行的概率。
3.1 確定風(fēng)險(xiǎn)變量的概率分布。
在工程項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)中，通常采用歷史數(shù)據(jù)推定法或?qū)＜艺{(diào)查法（常用德?tīng)柗品ǎ┐_定變量的概率分布。對(duì)此建筑工程進(jìn)行模擬，采用專家調(diào)查的方法測(cè)算確定風(fēng)險(xiǎn)變量的分布模型。
3.1.1 建設(shè)投資的概率分布。建設(shè)投資的概率分布采用三角形分布，邀請(qǐng)專家根據(jù)項(xiàng)目初步設(shè)計(jì)概算情況對(duì)項(xiàng)目投資進(jìn)行預(yù)測(cè)，估計(jì)項(xiàng)目投資的最樂(lè)觀值、最大可能值、最悲觀值，求取專家意見(jiàn)的平均值，并計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和離散系數(shù)，離散系數(shù)滿足專家一致性要求時(shí)，經(jīng)測(cè)算估計(jì)最后確定三角形分布模型，結(jié)果為：樂(lè)觀值34181萬(wàn)元，最大可能值采用概算值40213．75萬(wàn)元，悲觀值44235萬(wàn)元。
3.1.2 經(jīng)營(yíng)成本和銷售收入的概率分布。經(jīng)營(yíng)成本和銷售收入的概率分布均采用正態(tài)分布，邀請(qǐng)專家對(duì)經(jīng)營(yíng)成本和銷售收入的期望值、分布范圍和范圍內(nèi)概率進(jìn)行估計(jì)。選取三位專家對(duì)經(jīng)營(yíng)成本的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算示例如下：第一位專家認(rèn)為經(jīng)營(yíng)成本的期望值為3000萬(wàn)元，在2760―3240萬(wàn)元范圍內(nèi)的概率為90％，即在2760～3240萬(wàn)元范圍外的概率為10％，小于2760萬(wàn)元（或大于3240萬(wàn)元）的概率為5％，即比期望值3000萬(wàn)元減少240萬(wàn)元的概率為5％，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表或通過(guò)計(jì)算機(jī)程序計(jì)算得離差為－1．645，即相當(dāng)于期望值偏離了－1．645ð，于是標(biāo)準(zhǔn)差ð=240／1．645=146萬(wàn)元。同理計(jì)算其他專家對(duì)經(jīng)營(yíng)成本的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，結(jié)果見(jiàn)表1。專家估計(jì)結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差的平均值為164萬(wàn)元，方差為247，離散系數(shù)為 ，滿足專家一致性要求，從而確定經(jīng)營(yíng)成本的概率分布服從N(3037，1642)的正態(tài)分布。
采用同樣的方法，經(jīng)專家估計(jì)確定經(jīng)營(yíng)收入的概率分布服從N(6570，3802)的正態(tài)分布，過(guò)程從略。
3.2 抽取隨機(jī)數(shù)，產(chǎn)生變量抽樣值
本文的模擬過(guò)程完全由計(jì)算機(jī)程序完成，隨機(jī)數(shù)采用編程語(yǔ)言提供的隨機(jī)數(shù)函數(shù)獲取。
對(duì)建設(shè)投資、經(jīng)營(yíng)成本和銷售收入分別獲取隨機(jī)數(shù)，以此隨機(jī)數(shù)作為變量的概率值，并根據(jù)相應(yīng)的概率分布模型轉(zhuǎn)化為各隨機(jī)變量的抽樣值，轉(zhuǎn)化過(guò)程如下：
3.2.1 建設(shè)投資服從三角分布，直接利用概率的數(shù)學(xué)含義即三角形面積求取隨機(jī)變量。
3.2.2 經(jīng)營(yíng)成本和銷售收入服從正態(tài)分布，正態(tài)圖上陰影部分的面積為隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的概率值，由概率值查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表或通過(guò)計(jì)算機(jī)程序計(jì)算得出抽樣值距期望值的離差，可以確定隨機(jī)變量的抽樣值：抽樣值(x)=期望值±離差×標(biāo)準(zhǔn)差。
3.3 計(jì)算抽樣的評(píng)價(jià)指標(biāo)值
確定出一組建設(shè)投資、經(jīng)營(yíng)成本和銷售收入等隨機(jī)變量的抽樣值后，以這組抽樣值為經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，流動(dòng)資金按照經(jīng)營(yíng)成本的抽樣值與期望值之比進(jìn)行調(diào)整，計(jì)算項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)值。常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)有財(cái)務(wù)凈現(xiàn)值、內(nèi)部收益率、投資回收期等，一般采用財(cái)務(wù)內(nèi)部收益率，在計(jì)算期內(nèi)按照以下公式采用計(jì)算機(jī)試算內(nèi)插法求解FIRR：
NPV=
其中流入資金CI包括銷售收入和計(jì)算期末回收殘值、回收流動(dòng)資金；流出資金CO包括建設(shè)投資、銷售稅金、經(jīng)營(yíng)成本等。
3.4 模擬結(jié)果及試驗(yàn)次數(shù)對(duì)結(jié)果的影響分析
重復(fù)以上隨機(jī)試驗(yàn)，使模擬結(jié)果達(dá)到預(yù)定次數(shù)后，以每一次試驗(yàn)發(fā)生的頻數(shù)作為概率，按內(nèi)部收益率由小到大進(jìn)行排序，整理全部試驗(yàn)結(jié)果的期望值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，并計(jì)算累計(jì)概率，即可求取財(cái)務(wù)內(nèi)部收益率小于基準(zhǔn)收益率的累計(jì)概率，從而確定項(xiàng)目可行或不可行的概率。對(duì)該工程進(jìn)行試驗(yàn)次數(shù)為2000次的一次模擬，整理模擬結(jié)果，得內(nèi)部收益率的平均值為5.64％，方差為1.93，離散系數(shù)為24.63％。按內(nèi)部收益率由小到大進(jìn)行排序計(jì)算，可確定內(nèi)部收益率低于基準(zhǔn)收益率4％的累計(jì)概率為12．75％，即內(nèi)部收益率大于或等于4％的概率為87．25％，可見(jiàn)此工程項(xiàng)目的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)較小。
4 計(jì)算機(jī)模擬程序
采用蒙特卡洛模擬法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析，計(jì)算過(guò)程重復(fù)性強(qiáng)、工作量大，一般利用計(jì)算機(jī)程序完成。為了將蒙特卡洛模擬技術(shù)引入污水處理項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)風(fēng)險(xiǎn)分析中，筆者采用可視化編程語(yǔ)言Visual Foxpro編制了計(jì)算程序。
采用該程序，可以根據(jù)專家調(diào)查結(jié)果確定風(fēng)險(xiǎn)變量的分布模型、實(shí)現(xiàn)正態(tài)分布概率值與離差的相互轉(zhuǎn)換（計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中的數(shù)據(jù)）、抽取隨機(jī)數(shù)并產(chǎn)生抽樣值、計(jì)算經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)指標(biāo)、在設(shè)定試驗(yàn)次數(shù)下的一次模擬和多次重復(fù)模擬、查看模擬結(jié)果、形成模擬結(jié)果概率圖表等，實(shí)現(xiàn)短時(shí)間完成數(shù)千次模擬試驗(yàn)的計(jì)算、分析和輸出。上述表2中統(tǒng)計(jì)出了在P2.8G計(jì)算機(jī)上利用該程序進(jìn)行不同試驗(yàn)次數(shù)的一次模擬耗用時(shí)間數(shù)，其中試驗(yàn)次數(shù)為2000次時(shí)一次模擬耗時(shí)僅用2．97秒，進(jìn)行20次重復(fù)模擬累計(jì)耗時(shí)約1分鐘；若試驗(yàn)次數(shù)為10000次，20次重復(fù)模擬累計(jì)耗時(shí)將達(dá)5分鐘。
在建筑工程項(xiàng)目可行性研究報(bào)告經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)工作中，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)分析有著較高要求，對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)概率分析的更是重要，而采用蒙特卡洛模擬技術(shù)進(jìn)行模擬分析是重要手段。本文通過(guò)對(duì)某建筑工程作為算例，編制計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行蒙特卡洛模擬分析，得出項(xiàng)目可行或不可行的概率，為建設(shè)方提供決策依據(jù)，并為項(xiàng)目可行性研究工作進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析提供案例，同時(shí)為BOT、TOT等新型特許經(jīng)營(yíng)投融資模式進(jìn)行項(xiàng)目投資決策的風(fēng)險(xiǎn)分析提供參考。
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關(guān)鍵詞：古典概率 樣本空間 巧解
在解答古典概率題時(shí)，首先要計(jì)算樣本空間Ω的樣本點(diǎn)數(shù)即基本事件數(shù)n和某一事件A的有利事件數(shù)m，這樣就可以計(jì)算出事件A發(fā)生的概率為P(A)= 。這個(gè)看似簡(jiǎn)單的公式，但我們往往會(huì)計(jì)算很復(fù)雜，而且在計(jì)算中常常會(huì)用到排列組合的公式計(jì)算，就會(huì)使一些問(wèn)題的計(jì)算量很大，容易計(jì)算錯(cuò)誤，而功虧一簣。
那么我們能不能用一些簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決這個(gè)矛盾呢？答案是肯定的。只要我們?cè)诜治鰡?wèn)題時(shí)能選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，就可以巧解這一類問(wèn)題。我們通過(guò)以下幾個(gè)問(wèn)題來(lái)進(jìn)行探討：
例一 將1,2,…，n這n個(gè)數(shù)字任意排列，試求：
（1）2在1前面的概率；
（2）1,2,3依次出現(xiàn)的概率。
解：（1）方法一. n個(gè)數(shù)字作為樣本空間的基本事件的考慮對(duì)象，則 n個(gè)數(shù)任意排列，有n！種排法，即樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為 n！。2一定排在1之前這個(gè)事件的有利事件數(shù)為 C2n（n-2）！種排法，所以所求概率為:
方法二 注意到題中的要求是求2排在1前面的概率，所以我們只關(guān)心的是1和2這兩個(gè)數(shù)字的排法，1和2兩個(gè)數(shù)字任意排，有兩種排法，則樣本空間Ω={(1,2)，（2,1）｝，即Ω包含兩個(gè)樣本點(diǎn)。設(shè)A=｛2在1前面｝，于是A={(2,1)}只包含一個(gè)樣本點(diǎn)，所以所求概率為:
P（A）=
(2)方法一. 考慮n個(gè)數(shù)字任意排列的情況，n個(gè)數(shù)字任意排列有n！種不同排法，所以樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為n！，而對(duì)于事件A={1,2,3依次出現(xiàn)}的有利事件數(shù)可以這樣來(lái)計(jì)算：“1,2,3依次出現(xiàn)”可以依次出現(xiàn)在n個(gè)位置的三個(gè)位置上，所以有C3n種站位方法，這三個(gè)位置被1,2,3依次占據(jù)后，其余n-3個(gè)數(shù)字可按任意次序在余下的n-3各位置上站位，有（n-3）！種排法。因此，事件A的有利事件數(shù)為C3n（n-3）！，因而“1,2,3依次出現(xiàn)”的概率為：
方法二 我們不用考慮n個(gè)數(shù)字的排列，因?yàn)槲覀冎恍杩紤]1,2,3這三個(gè)數(shù)字的排列情況，所以我們可以選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，這時(shí)我們只以1,2,3做考慮對(duì)象，所以1,2,3任意排列有3！種不同排法。即：Ω=｛（1,2,3），（1,3,2），（2,3,1），（2,1,3），（3,1,2），（3,2,1）｝，樣本空間中包含6個(gè)樣點(diǎn)。如果A={1,2,3依次出現(xiàn)｝，
那么A僅包含了1個(gè)樣本點(diǎn)，即A={(1,2,3）｝，所以事件A={1,2,3依次出現(xiàn)}的概率為：
P(A)=
由本例我們可以看到：有關(guān)這類數(shù)字的排列而產(chǎn)生的概率的問(wèn)題，只要我們能根據(jù)具體情況，適當(dāng)選取樣本空間，就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算來(lái)解答，從而避免了復(fù)雜的排列組合計(jì)算。
例二．袋中有a個(gè)黑球，b個(gè)白球，現(xiàn)將球隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)不放回地摸出來(lái)，求第K次摸出的球是黑球的概率（1Ka+b）。
解：方法一 將球看成是各不相同，因?yàn)槿∏蚴遣环呕氐模詰?yīng)考慮排列。每K個(gè)排列好的球構(gòu)成一個(gè)基本事件，此時(shí)樣本空間所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為Aka+b.設(shè)Ak=｛第K次摸出黑球｝這相當(dāng)于在第K個(gè)位置上放一個(gè)黑球（有C1a=a種放法），在其余K-1個(gè)位置上擺放從余下的a+b-1個(gè)球中任取K-1個(gè)球，所以事件Ak包含的有利事件數(shù)為aA ，于是事件Ak的概率為：
方法二 設(shè)Ak={第K次摸出黑球}。因?yàn)槲覀冎豢紤]的是最后摸出的一個(gè)球是白球還是黑球，所以，考慮樣本空間時(shí)只對(duì)最后一個(gè)球進(jìn)行考慮。這樣我們可以選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g。首先把a(bǔ)+b個(gè)球加以編號(hào)，前a個(gè)球?yàn)楹谇颍骲個(gè)球?yàn)榘浊颍O(shè)Wi表示第K次摸出第i號(hào)球，則樣本空間Ω={w1，w2，…wa+b}，即樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)為a+b。容易知道每一個(gè)球都等可能的在第K次被摸到，所以Ak={第K次摸出黑球}的樣本點(diǎn)為Ak={w1，w2，…wa}，因此，Ak的有利事件數(shù)為a。故由古典概率的計(jì)算公式可求出事件Ak的概率為：
比較本例的兩種解法可以發(fā)現(xiàn)，方法二中樣本空間的取法最小，再小就不能保證等可能性了。方法一中選取的樣本空間較大，沒(méi)有方法二直觀、簡(jiǎn)單。
例三 n個(gè)老同學(xué)隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：
（1）A={甲、乙坐在一起，且乙在甲的左邊}；
（2）B={甲、乙、丙坐在一起}。
解：方法一 圍成圓圈的椅子不編號(hào)，n個(gè)人圍圓桌而坐的不同方法為n個(gè)不同的元素排列圓圈的排列數(shù)，即樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)為：n= =（n-1）！
（1）因?yàn)橐易诩椎淖筮叄瑢⒓住⒁覂扇丝闯梢蝗耍允录嗀的有利事件數(shù)就是（n-1）個(gè)不同元素排成圓圈的排列數(shù)，即 =（n-2）！所以事件A的概率為：
（2）類似地，將甲、乙、丙看成一人，這時(shí)有 =（n-3）！種排法。當(dāng)n4時(shí)，甲、乙、丙3人共有3！種不同的排法。由乘法原則可知B的有利事件數(shù)為（n-3）！3！，所以事件B的概率為：
特別地，當(dāng)n=3時(shí)，甲、乙、丙總是在一起的有：
P(B)=1
方法二 （1）將椅子編號(hào)，任何人坐了不同編號(hào)的椅子都看成是不同的排法，所以樣本空間Ω的樣本點(diǎn)數(shù)為n!。甲有n種不同的坐法，乙坐在甲的左邊，其余的人共有（n-2）！種坐法。所以事件A的有利事件數(shù)為n（n-2）！，故事件A的概率為：
（2）當(dāng)n≥4時(shí)，甲有n種坐法，乙、丙與甲相鄰而坐占了2個(gè)位子，其余的人共有（n-3）！種坐法；而乙和丙可能在甲的兩邊，有2種坐法；可能都在甲的右邊，有2種坐法，；也可能都在甲的左邊，也有2種坐法。所以甲、乙、丙的相對(duì)位子共有6種，因此事件B的有利事件數(shù)為6n（n-3）！。故事件B的概率為：
特別地，當(dāng)n=3時(shí)，事件B是必然事件，故P（B）=1
方法三 （1）我們只需考慮甲、乙兩人的座位關(guān)系，所以我們可以選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，不妨假設(shè)甲已坐定，這時(shí)乙的坐法有（n-1）種。這（n-1）個(gè)位置都是等可能的，即這時(shí)的樣本空間Ω的樣點(diǎn)總數(shù)為n-1.而A=｛甲、乙坐在一起，且乙在甲的左邊｝的有利事件數(shù)只有一種，所以事件A的概率為：
（2）類似地，甲坐定后，乙、丙共有（n-1）（n-2）種坐法，所以這時(shí)樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù)的總數(shù)為（n-1）（n-2）。而B(niǎo)=｛甲、乙、丙坐在一起｝的有利事件數(shù)為6，所以事件B的概率為：
特別地，當(dāng)n=3時(shí)， P（B）=1
從本例可看出，用計(jì)算排列的方法來(lái)做是比較復(fù)雜的。但是當(dāng)我們選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g后，不用排列組合而十分簡(jiǎn)便地得到結(jié)果。
例四 任取一個(gè)正整數(shù)，求該數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)是1的概率。
本例在學(xué)生解答時(shí)常常把正整數(shù)全體取為樣本空間，而這樣的樣本空間是無(wú)限的，就談不上等可能性了，所以如果把全體正整數(shù)取為樣本空間我們就不能用古典概率來(lái)計(jì)算，因此，我們只能選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g。我們首先考慮，一個(gè)正整數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)只取決于該整數(shù)的個(gè)位數(shù)，它們可以是0，1,2，…，9這十個(gè)字中的任一個(gè)。所以我們就可以把樣本空間取為Ω=｛0，1,2，…，9｝，設(shè)A=｛任取一個(gè)正整數(shù)，該數(shù)的平分的個(gè)位數(shù)是1｝，而在｛0，1,2，…，9｝這十個(gè)數(shù)字中，顯然只有1和9這兩個(gè)數(shù)字的平方的個(gè)位數(shù)是1，所以事件A的有利事件數(shù)為2，即A=｛1,9｝。故所求的事件A的概率為：
本例說(shuō)明對(duì)一些特別的問(wèn)題，如果我們不會(huì)選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，不僅計(jì)算困難，而且是不能用古典概率的方法來(lái)解決。而當(dāng)我們選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g后，就使問(wèn)題的解答簡(jiǎn)單、直觀。
如果我們對(duì)這種方法理解和熟悉后，我們?cè)谟?jì)算條件概率時(shí)是可以運(yùn)用這種思想的。在事件A發(fā)生的前提下，選取B的適當(dāng)樣本空間，并在這個(gè)適當(dāng)?shù)臉颖究臻g中計(jì)算B發(fā)生的概率，從而計(jì)算出P（BA）。這種方法常常叫做縮減樣本空間法。
例五 在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)碼中，每次取一個(gè)數(shù)碼，取后不放回，連取兩次。求在第一次取到偶數(shù)的條件下，第二次取到奇數(shù)的概率。
首先我們來(lái)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析：用（i，j,）表示第一次取出數(shù)碼i且第二次取出數(shù)碼j，則隨機(jī)試驗(yàn)所產(chǎn)生的樣本空間為：
Ω=｛（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）｝
如果把“第一次取得偶數(shù)”記為事件A，這個(gè)條件作為隨機(jī)試驗(yàn)的先決條件，這時(shí)樣本空間為：
ΩA=｛（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，5）｝
這個(gè)空間我們就常常叫做“縮減的樣本空間”，它是把Ω中第1數(shù)是奇數(shù)的12個(gè)樣本點(diǎn)除去后，剩下的8個(gè)樣本點(diǎn)所構(gòu)成的新樣本空間（不考慮第2個(gè)號(hào)碼是奇數(shù)還是偶數(shù)）。因此，我們僅考慮第一次抽樣的隨機(jī)試驗(yàn)所組成的樣本空間Ω=｛1,2,3,4,5｝，則第一次抽去一個(gè)偶數(shù)后，其樣本空間縮減為ΩA=｛i，1,3,5｝，其中i取偶數(shù)2或4.空間Ω可以用條件概率公式來(lái)計(jì)算概率，縮減的樣本空間可以用古典概率公式直接計(jì)算概率。
解：方法一 設(shè)A=｛第1次取出偶數(shù)｝
B=｛第2次取出奇數(shù)｝
因?yàn)閮纱稳?shù)的隨機(jī)試驗(yàn)所構(gòu)成的樣本空間Ω的樣點(diǎn)的總數(shù)為 A25個(gè)，其中事件A的有利事件數(shù)為 C12C14
所以，
又在Ω中第一次取出偶數(shù)且第二次取出奇數(shù)的樣點(diǎn)的點(diǎn)數(shù)為C12C13，所以
由條件概率公式可得：
方法二 我們縮減樣本空間考慮時(shí)，ΩA所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為C12C14(或A25-C13C14)個(gè)，其中第2個(gè)數(shù)碼是奇數(shù)的樣本點(diǎn)數(shù)為C12C13(或A25-C13C14-A22)個(gè)。故由古典概率計(jì)算公式可得：
方法三 我們首先考慮第一次抽樣時(shí)的樣本空間，這時(shí)的樣本空間Ω=｛1,2,3,4,5｝，如果第一次抽取一個(gè)偶數(shù)后，樣本空間縮減為：
ΩA=｛i，1,3,5｝，其中i取2或4。在縮減的樣本空間ΩA中，第二次抽取到奇數(shù)的樣本點(diǎn)為1,3,5,即有利事件數(shù)為3。由古典概率公式可得：
P（BA）=
本例中的方法一是條件概率公式直接計(jì)算，較方法二、方法三計(jì)算量大，對(duì)方法二、方法三來(lái)說(shuō)，都采用了縮減樣本空間法。但應(yīng)注意這兩種方法是從不同的角度進(jìn)行縮減。這種解法所選取的原樣本空間不同，就如前面所介紹選取適當(dāng)樣本空間那樣。方法二是考慮兩次取數(shù)的試驗(yàn)所產(chǎn)生的樣本空間（稱之為細(xì)分），方法三是考慮一次取數(shù)的試驗(yàn)所產(chǎn)生的樣本空間（稱之為粗分）。這兩種解法想比較，方法二容易被接受，但樣本點(diǎn)數(shù)較多時(shí)，計(jì)算較麻煩。方法三不容易掌握，但計(jì)算簡(jiǎn)潔。
例六 袋中裝有2n-1個(gè)白球，2n個(gè)黑球，一次取出n個(gè)球，發(fā)現(xiàn)都是同一種顏色的，求這種顏色是黑色的概率。
解：方法一 我們以袋中2n-1個(gè)白球和2n個(gè)黑球?yàn)榭紤]的對(duì)象。這時(shí)從4n-1個(gè)球里一次取出n個(gè)球有Cn4n-1種不同的取法，所以樣本空間Ω的樣本點(diǎn)數(shù)為 Cn4n-1
設(shè)A=｛取出的n個(gè)球是同色球｝ B=｛取出的n個(gè)球是黑色球｝
由古典概率計(jì)算公式可得：
P（A）= P（AB）=
所以由條件概率公式計(jì)算可得：
方法二 設(shè)A=｛取出的n個(gè)球是同色球｝，B=｛取出的n個(gè)球是黑色球｝，現(xiàn)在僅考慮A的前提條件下，我們可知A的縮減樣本空間ΩA僅為Cn2n+Cn2n個(gè)樣本點(diǎn)，這時(shí)B包含的樣本點(diǎn)數(shù)為Cn2n個(gè)。所以，所求的概率為：
通過(guò)以上的例子我們可以看到，在古典概率計(jì)算中，只要我們充分掌握了對(duì)古典概率的要求，在解題時(shí)只要能選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g，復(fù)雜的排列組合計(jì)算也是可以避免的。當(dāng)然，以上的例子是筆者經(jīng)過(guò)有意識(shí)的選擇的，但這種注意樣本空間選取的思想是很有用的，掌握它也不困難，但卻往往不被人所重視。因此筆者想以此文提出，希望能引起重視，并能對(duì)關(guān)心古典概率的人們有所幫助。
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一、什么是概率
對(duì)于概率的定義，教材中是這樣闡述的：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大小.一個(gè)事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為這個(gè)事件的概率（probability）.
概率是度量事件發(fā)生可能性大小的屬性.如果用A表示一個(gè)事件，那么我們就用P（A）表示事件A發(fā)生的概率.
由于必然事件在每次試驗(yàn)中必定發(fā)生，或者說(shuō)它發(fā)生的可能性是百分之百，它的概率是1.不可能事件發(fā)生的可能性是0，所以它的概率是0.而任一事件A發(fā)生的可能性不會(huì)小于0，也不會(huì)大于百分之百，即有0≤P（A）≤1.
對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件，它發(fā)生的概率是由它自身決定的，并且是客觀存在的，概率是隨機(jī)事件自身的屬性.它反映這個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小.事件發(fā)生的可能性越大，則它的概率越接近1；事件發(fā)生的可能性越小，則它的概率越接近0.
二、概率教學(xué)的重要途徑――實(shí)驗(yàn)
1.概率實(shí)驗(yàn)的內(nèi)涵
概率教學(xué)應(yīng)該通過(guò)真實(shí)數(shù)據(jù)、活動(dòng)和直觀模擬創(chuàng)造情景，使學(xué)生感悟蘊(yùn)涵的概率背景，重視模擬和實(shí)驗(yàn)，淡化術(shù)語(yǔ)，避免單純從計(jì)算的角度引導(dǎo)學(xué)生去從事概率的學(xué)習(xí).
在教學(xué)中多結(jié)合實(shí)例，讓學(xué)生親自經(jīng)歷隨機(jī)現(xiàn)象的探索過(guò)程，親自動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，集體合作，收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并將所得結(jié)果與自己的猜測(cè)進(jìn)行比較，獲得一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)對(duì)概率意義的理解和掌握，教師要注重創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中逐步理解概率.在教學(xué)過(guò)程中，并非一味簡(jiǎn)單地講述書(shū)本知識(shí)，而適時(shí)、恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)、引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與課堂、課后的概率實(shí)驗(yàn)，以實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)論述問(wèn)題，體現(xiàn)以學(xué)生為主，以應(yīng)用為本的教學(xué)理念，使抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行得生動(dòng)活潑，從而取得讓學(xué)生終身難忘的教學(xué)效果.
2.概率實(shí)驗(yàn)的價(jià)值
第一，通過(guò)概率實(shí)驗(yàn)，有助于學(xué)生體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn).在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)及對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析中，學(xué)生將逐漸體會(huì)到隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性，以及大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)所呈現(xiàn)的規(guī)律性.
第二，通過(guò)概率實(shí)驗(yàn)，可以估計(jì)一些隨機(jī)事件的概率.在實(shí)際生活中，大量隨機(jī)事件發(fā)生的概率是不能依靠計(jì)算得到的，此時(shí)人們可以通過(guò)做實(shí)驗(yàn)，將大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)的頻率作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)值.
第三，通過(guò)概率實(shí)驗(yàn)，有助于學(xué)生澄清一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).學(xué)生學(xué)習(xí)概率時(shí)，雖然有一些生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，但也有局限性和困惑，對(duì)后者不是靠訓(xùn)練就可改變的，必須結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生親自動(dòng)手操作，將學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)向理性思考發(fā)展.
三、需要注意的問(wèn)題
1.要重視教材的基礎(chǔ)作用
教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能的“藍(lán)本”，教學(xué)中必須按課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)概率內(nèi)容的要求，以課本的例、習(xí)題為素材，舉一反三地加以類比、延伸和拓展，在“變式”上下工夫，力求對(duì)教材內(nèi)容融會(huì)貫通.
2.要注意聯(lián)系實(shí)際
概率來(lái)源于生活中的具體情景，教學(xué)應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐、思考、探索、交流獲得知識(shí)，形成技能，發(fā)展思維，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，促使學(xué)生在教師指導(dǎo)下生動(dòng)活潑地、主動(dòng)地、富有個(gè)性地學(xué)習(xí)，從而把抽象的知識(shí)生活化，生活的知識(shí)數(shù)學(xué)化.
3.要給學(xué)生足夠的動(dòng)手操作時(shí)間
數(shù)據(jù)處理是一個(gè)比較煩瑣的學(xué)習(xí)和操作的過(guò)程，概率教學(xué)要注意提供給學(xué)生充分的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生多動(dòng)手操作，注重學(xué)生的自主探索和合作交流，讓學(xué)生在實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，分析問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題.
4.要注意概率計(jì)算拓展的深度
在概率計(jì)算教學(xué)中，許多教師對(duì)這部分知識(shí)進(jìn)行了拓展，但拓展時(shí)一定要把握好深度，所使用的方法必須在計(jì)算概率的基本方法（如完全枚舉法、畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等）范圍內(nèi).
5.要注意概率計(jì)算拓展的寬度
在強(qiáng)調(diào)控制概率計(jì)算拓展深度的同時(shí)，必須注意概率計(jì)算拓展的寬度.概率計(jì)算與許多知識(shí)相結(jié)合，可以形成難度適中的綜合題.我們?cè)诮虒W(xué)中要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這類問(wèn)題的研究，關(guān)注和概率內(nèi)容相關(guān)的綜合問(wèn)題，靈活運(yùn)用學(xué)到的概率計(jì)算方法去解決問(wèn)題，不斷提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，增強(qiáng)綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.
關(guān)鍵詞：概率統(tǒng)計(jì) 工科教學(xué) 教學(xué)策略 實(shí)踐性環(huán)節(jié)
中圖分類號(hào)：G642
文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A
文章編號(hào)：1007-3973（2012）005-175-02
江蘇科技大學(xué)（張家港）以培養(yǎng)技術(shù)型應(yīng)用性人才為辦學(xué)目標(biāo)。校區(qū)的生源以本二為主，隨著擴(kuò)招，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與能力方面比以往有較大下降，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此課普遍感到學(xué)習(xí)困難，難以入門(mén)，其中一個(gè)重要原因是學(xué)生對(duì)于這門(mén)課程缺乏興趣，當(dāng)前在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中存在諸多問(wèn)題有待解決，有必要對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改革和創(chuàng)新。
概率統(tǒng)計(jì)是工科學(xué)校大部分專業(yè)開(kāi)設(shè)的基礎(chǔ)課，它是研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門(mén)學(xué)科，在自然科學(xué)、金融、工程技術(shù)、醫(yī)藥等各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛應(yīng)用。不可否認(rèn)，由于數(shù)學(xué)概念的理解難度，使得學(xué)生學(xué)起來(lái)顯得困難，加上數(shù)學(xué)課程本身的特點(diǎn)，很多學(xué)生有畏懼心理，導(dǎo)致教師教學(xué)的困難，筆者通過(guò)講授該課程4年，通過(guò)教學(xué)實(shí)踐分析校區(qū)概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)現(xiàn)狀，指出其中存在的問(wèn)題，提出對(duì)本課程教學(xué)方法策略的思考。
1 提高課堂效果的方法
1.1 了解學(xué)生學(xué)習(xí)困難
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)類課程學(xué)習(xí)興趣不高。經(jīng)過(guò)筆者深入學(xué)生中了解到這樣的問(wèn)題“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用”等問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生對(duì)這門(mén)課不太了解。因此在講授第一次課的時(shí)候，不必要急于講授新課內(nèi)容，首先要將這門(mén)課程的整體的框架介紹下，并且介紹一些與實(shí)際生活有趣的概率方面的內(nèi)容，比如：投擲硬幣問(wèn)題，下賭注問(wèn)題，生日問(wèn)題等。適當(dāng)介紹下概率統(tǒng)計(jì)的發(fā)展史和中外數(shù)學(xué)家事跡，這樣可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，也可以活躍課堂氣氛。
1.2 講一些小故事，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣
在教學(xué)過(guò)程中，講一些與概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)的小故事，一方面可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)故事本質(zhì)，在體會(huì)故事的過(guò)程中感受概率思想，另一方面也可以活躍課堂氣氛。例如：在講“古典概型計(jì)算”這一節(jié)的時(shí)候，可以先提出一個(gè)問(wèn)題問(wèn)學(xué)生：該班級(jí)有93人，“至少有兩個(gè)人生日在同一天的概率是多少”？學(xué)生在沒(méi)有學(xué)習(xí)古典概型的時(shí)候是不會(huì)立刻回答出來(lái)的，感覺(jué)不可思議，但是立刻經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)確實(shí)存在這樣的情況，那可以肯定的說(shuō)，概率幾乎接近1這個(gè)事實(shí)。接著就可以圍繞這個(gè)問(wèn)題利用排列組合的知識(shí)推導(dǎo)出古典概型的計(jì)算公式，通過(guò)計(jì)算確實(shí)是接近于1。事實(shí)上可以通過(guò)計(jì)算人數(shù)大于55就有很大的概率了。通過(guò)這個(gè)小故事，有助于學(xué)生理解比較難的公式，同事也激發(fā)學(xué)生的探索的興趣。
1.3 聯(lián)系生活，教育警示學(xué)生
概率統(tǒng)計(jì)相比高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)更貼近生活，如果能合理恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用到教學(xué)中去，那會(huì)對(duì)教學(xué)效果和質(zhì)量起到促進(jìn)作用。課堂上詢問(wèn)學(xué)生買(mǎi)彩票的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)有一部分學(xué)生熱衷于買(mǎi)彩票，并且很希望中大獎(jiǎng)。針對(duì)這種情況，在講授古典概型計(jì)算的時(shí)候就可以分別計(jì)算出中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)的概率值來(lái)，從而使他們知道原來(lái)中大獎(jiǎng)的概率是非常小，幾乎接近與零。
并且教育他們買(mǎi)彩票的時(shí)候需要擺正心態(tài)，期望值放低，更不能沉迷其中。
2 采用更加靈活的考核方式
2.1 課堂形式多樣化
傳統(tǒng)的課堂教學(xué)是以老師講課為主，學(xué)生聽(tīng)講為輔。現(xiàn)階段學(xué)生思維活躍，學(xué)生有迫切的需要和老師互動(dòng)交流。鑒于此，概率統(tǒng)計(jì)課堂應(yīng)該是講練結(jié)合，提問(wèn)回答，互動(dòng)性強(qiáng)的形式。可以穿插學(xué)生之間的小組討論，開(kāi)設(shè)小型的研討班等多種互動(dòng)形式。對(duì)于不同專業(yè)的學(xué)生，結(jié)合不同學(xué)科特點(diǎn)要構(gòu)建與本專業(yè)相對(duì)應(yīng)的概率應(yīng)用例子。
2.2 考試方式靈活
原有的考考核方式都是閉卷考試，這種傳統(tǒng)的考試方式一般情況下不能真正反映學(xué)生對(duì)概率統(tǒng)計(jì)課程內(nèi)容的全面掌握，不利于考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力。筆者對(duì)當(dāng)前考試方式做了有益的探索，前提是保證能比較全面的考查學(xué)生掌握知識(shí)的程度，考查的內(nèi)容包括：平時(shí)作業(yè)的登記，課堂和老師互動(dòng)的情況登記，要求學(xué)生在學(xué)完概率論后寫(xiě)一份相關(guān)的小論文（學(xué)習(xí)心得體會(huì)，數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模等新的想法等）；答疑的踴躍程度以及課后答疑記錄的登記。通過(guò)這些多方面的考核，各個(gè)考核項(xiàng)占有一定的比例，使學(xué)生不在為了最后的閉卷考試而著急，因此達(dá)到考查的目的。
3 概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)實(shí)踐
3.1 增加計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐性環(huán)節(jié)
校區(qū)概率統(tǒng)計(jì)師資都為數(shù)學(xué)教研室全體老師，都是青年教師，他們?cè)诮虒W(xué)經(jīng)驗(yàn)等方面有待提高，比如在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中應(yīng)該適當(dāng)使用計(jì)算機(jī)軟件教學(xué)。概率論中最常用的一個(gè)軟件SAS，它可以對(duì)離散型，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布律、概率密度函數(shù)以及事件的概率計(jì)算，也可以產(chǎn)生常用分布的曲線圖；SPSS則在統(tǒng)計(jì)中使用廣泛，它主要是做大量復(fù)雜的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和分析；而Matlab軟件在概率統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用及其廣泛，它既可以再概率論中進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，例如計(jì)算隨機(jī)變量的期望和方差、計(jì)算幾何概率事件；也可以畫(huà)圖，也可以處理統(tǒng)計(jì)中的參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等內(nèi)容，并且使用起來(lái)很方便，這樣就可以極大地避免大量繁雜的數(shù)據(jù)的整理和分析，提高教學(xué)效率，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。適當(dāng)增加計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)學(xué)時(shí)，對(duì)學(xué)生的動(dòng)手能力、分析數(shù)據(jù)能力、應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力有很大幫助。讓學(xué)生感受到概率統(tǒng)計(jì)的魅力，課時(shí)安排在每一章結(jié)束后根據(jù)需要安排一到兩次上機(jī)實(shí)驗(yàn)。
3.2 Matlab軟件的使用
Matlab軟件提供了統(tǒng)計(jì)工具箱，里面有大量的概率統(tǒng)計(jì)函數(shù)可直接調(diào)用，顯示出強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算和分析功能，這從根本上簡(jiǎn)化了在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)完成概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)任務(wù)，降低了計(jì)算過(guò)程的復(fù)雜性、提高了教學(xué)效率。
例：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：
本學(xué)期筆者將Matlab融入概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，先介紹了該軟件的使用，在上機(jī)課時(shí)講授一些求解隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望、方差、隨機(jī)事件概率的演示，將例題和部分習(xí)題用Matlab解答，經(jīng)實(shí)際操作結(jié)果是令人滿意的。在處理統(tǒng)計(jì)量數(shù)值計(jì)算的時(shí)候，題目中的繁雜運(yùn)算通過(guò)Matlab的相關(guān)函數(shù)完成，很直觀的顯示出理想的結(jié)果。從而使得學(xué)生能夠有時(shí)間與精力去深入學(xué)習(xí)概率的理論知識(shí)。
3.3 教學(xué)方法中融入數(shù)學(xué)建模思想
在教學(xué)過(guò)程中，注意融人數(shù)學(xué)建模的思想。自然界很多現(xiàn)象看起來(lái)差異很大，但是他們的實(shí)質(zhì)一樣，數(shù)學(xué)模型就是這些現(xiàn)象抽象化。概率統(tǒng)計(jì)中有許多模型，如n重Bernulli概率模型，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布模型，幾何分布模型等。對(duì)于這些模型要善于總結(jié)模型的建立過(guò)程，應(yīng)用的范圍。如n重Bernulli概率模型，它是0-1分布的疊加，將其看做是試驗(yàn)成功的次數(shù)的模型，利用這個(gè)模型可以處理很多實(shí)際問(wèn)題，如抽球問(wèn)題，機(jī)器工作的臺(tái)數(shù)，在求解期望時(shí)候利用這個(gè)模型特別容易求出。而避免使用期望的定義求解級(jí)數(shù)的復(fù)雜性。教學(xué)中教師更多的作用應(yīng)該體現(xiàn)在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自己的能力運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，以探究的方式主動(dòng)地獲取知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題。對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和實(shí)踐能力、創(chuàng)造能力、終身學(xué)習(xí)的能力具有十分重要的意義。而數(shù)學(xué)建模活動(dòng)的實(shí)際結(jié)果告訴我們，它不僅對(duì)好學(xué)生、而且對(duì)學(xué)習(xí)有一定困難的學(xué)生都能起到培養(yǎng)興趣、激發(fā)創(chuàng)造的目的。比如概率統(tǒng)計(jì)中有約會(huì)問(wèn)題：二人約定于6—7時(shí)內(nèi)在某地見(jiàn)面，先到者等20分鐘時(shí)后離去，求二人能會(huì)面的概率。在復(fù)習(xí)幾何概型的一般模型后開(kāi)始這樣建立模型： 設(shè)X和Y分別表示甲乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，找出和的取值范圍，設(shè)A=“兩人能會(huì)面”相當(dāng)于|X—Y|≤20，算出直線圍成圖形面積得P（A）=0.5556，這樣就得到兩人永不見(jiàn)面的概率為0.4444，從而使問(wèn)題得到解決。具體解答可以在Matlab中畫(huà)圖，得到的圖像如圖2。
總之，概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)應(yīng)該有自己的特色，應(yīng)該采取有針對(duì)性的教學(xué)方法和措施，使學(xué)生建立想學(xué)習(xí)，勇于探索的精神和自信心，培養(yǎng)學(xué)生理論知識(shí)和實(shí)踐并重的能力，創(chuàng)新精神，實(shí)現(xiàn)校區(qū)培養(yǎng)應(yīng)用技術(shù)型人才的目標(biāo)。
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【關(guān)鍵詞】風(fēng)電；投資風(fēng)險(xiǎn)；CIM模型；層次分析法
風(fēng)電在我國(guó)得到廣泛的發(fā)展應(yīng)用，但在某些省份一度出現(xiàn)風(fēng)電項(xiàng)目投資過(guò)熱現(xiàn)象，因此在風(fēng)電項(xiàng)目投資時(shí)應(yīng)對(duì)其進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析再?zèng)Q策。與傳統(tǒng)能源發(fā)電投資相比，風(fēng)電項(xiàng)目投資在技術(shù)、資金、政策環(huán)境上面臨更多的風(fēng)險(xiǎn)[1-2]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的研究很多，主要方法有基于生命周期理論、基于實(shí)物期權(quán)理論、蒙特卡羅仿真法、基于CVaR（條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）法等[3-6]。本文選用CIM模型結(jié)合層次分析法對(duì)風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行分析，CIM模型在工程項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)管理決策中有很多應(yīng)用，該模型可以有效地對(duì)復(fù)雜風(fēng)險(xiǎn)變量概率分布進(jìn)行綜合疊加。
1.CIM模型
CIM模型又稱概率分布的疊加模型或“記憶模型”，該方法以直方圖替代了變量的概率分布，用和替代了概率函數(shù)的積分。CIM模型分為“并聯(lián)響應(yīng)模型”和“串聯(lián)響應(yīng)模型”，按變量的物理關(guān)系分別進(jìn)行變量概率分布的“并”或“串”聯(lián)組合與疊加。在風(fēng)電項(xiàng)目投資、建設(shè)、運(yùn)用全過(guò)程中，各級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素的出現(xiàn)具有不同的隨機(jī)概率，因此適用于CIM模型的并聯(lián)響應(yīng)方法。
假設(shè)活動(dòng)A有n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素存在，只要其中任意一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)，活動(dòng)A都會(huì)收到影響，則風(fēng)險(xiǎn)因素B1，……，Bn的概率分布組合稱為“并聯(lián)響應(yīng)模型”，這種并聯(lián)概率曲線的疊加稱為“概率乘法”。在實(shí)際計(jì)算中概率乘法是由一系列的兩個(gè)概率分布連乘組成的，即先將兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素的概率曲線相乘，然后再與第三者相乘，繼續(xù)下去，最終確定活動(dòng)全過(guò)程的風(fēng)險(xiǎn)概率曲線。
假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)B1與風(fēng)險(xiǎn)B2進(jìn)行并聯(lián)概率疊加，它們的概率分布疊加利用等寬度概率區(qū)間的直方圖進(jìn)行疊加。其計(jì)算公式可以表示為：
式中，B1，B2為兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素，di為概率區(qū)間的組中值，n為分組數(shù)。
依據(jù)上述計(jì)算法將B12和B3進(jìn)行并聯(lián)概率疊加，得出B123的概率分布。依次進(jìn)行計(jì)算疊加，當(dāng)n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素疊加完后就得到了活動(dòng)P的概率分布。
根據(jù)CIM模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)疊加的方法與順序，針對(duì)風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)的特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行評(píng)估的過(guò)程如圖1所示。
圖1 CIM模型并聯(lián)疊加圖
風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的研究是建立在各個(gè)風(fēng)險(xiǎn)變量相互獨(dú)立的基礎(chǔ)上，變量之間的相關(guān)性涉及的理論和算法均較復(fù)雜，本文在設(shè)定主觀概率的數(shù)值時(shí)一定程度上已經(jīng)體現(xiàn)了其相關(guān)性，因此在實(shí)際的計(jì)算過(guò)程中不再考慮。
2.風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)的CIM評(píng)估模型
2.1 建立風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指標(biāo)體系
建立風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指標(biāo)體系是風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的基礎(chǔ)，根據(jù)大量調(diào)查和專家咨詢，本文提出風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指標(biāo)體系如表1。
2.2 基于CIM模型的風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估
風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估指標(biāo)體系具有結(jié)構(gòu)多層次、因素多方面、評(píng)估模糊性等特點(diǎn)，對(duì)各類風(fēng)險(xiǎn)因素的直接量化比較困難，因此選用層次分析法確定評(píng)估指標(biāo)權(quán)重，用模糊評(píng)價(jià)確定最末層風(fēng)險(xiǎn)因素的概率分布。
（1）建立風(fēng)險(xiǎn)因素集合 通過(guò)風(fēng)險(xiǎn)識(shí)別將風(fēng)電項(xiàng)目投資的各個(gè)層次上的風(fēng)險(xiǎn)列出，建立風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)因素集B。
（2）建立風(fēng)險(xiǎn)因素權(quán)重集合 每個(gè)因素對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的影響程度是不同的，為了反映各因素的重要程度，對(duì)每個(gè)因素要賦予一定的權(quán)重，運(yùn)用層次分析法建立起對(duì)應(yīng)于B的權(quán)重集合U。
（3）建立風(fēng)險(xiǎn)因素評(píng)價(jià)集 風(fēng)險(xiǎn)因素評(píng)價(jià)集是評(píng)價(jià)者對(duì)評(píng)價(jià)風(fēng)險(xiǎn)因素可能做出的各種評(píng)價(jià)結(jié)果組成的集合，用V表示，本文采用評(píng)價(jià)集V={風(fēng)險(xiǎn)高，風(fēng)險(xiǎn)較高，風(fēng)險(xiǎn)適中，風(fēng)險(xiǎn)較低，風(fēng)險(xiǎn)低}。
（4）確定最末層風(fēng)險(xiǎn)因素的概率分布 向?qū)＜野l(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，讓每位專家對(duì)每一最末層風(fēng)險(xiǎn)因素i給予評(píng)價(jià)j。根據(jù)下式計(jì)算每個(gè)末層風(fēng)險(xiǎn)因素的概率分布。
（1）
式中：Nj為把風(fēng)險(xiǎn)因素i歸為同一風(fēng)險(xiǎn)檔次j的專家人數(shù)；N為專家的總數(shù)。
（5）運(yùn)用CIM的并聯(lián)響應(yīng)模型，逐層求出各級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素的概率分布。
（6）根據(jù)各級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素的權(quán)重，最后得到風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)的概率分布。
3.CIM評(píng)估模型實(shí)證分析
錫盟蘇丹特右旗朱日和風(fēng)電場(chǎng)一期（49.5MW）工程位于錫林郭勒盟蘇尼特右旗朱日和鎮(zhèn)西北12km處，風(fēng)電場(chǎng)規(guī)劃容量200兆瓦，一期建設(shè)49.5兆瓦。朱日和風(fēng)電場(chǎng)一期49.5兆瓦風(fēng)電機(jī)組工程以220千伏電壓等級(jí)接入系統(tǒng)，在風(fēng)電場(chǎng)建設(shè)一座220千伏升壓站，將風(fēng)力發(fā)電機(jī)電力匯集后以一回220千伏線路接入溫都爾220千伏變電站。
根據(jù)項(xiàng)目開(kāi)發(fā)方案，采用專家調(diào)查法，對(duì)項(xiàng)目中的風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行評(píng)價(jià)。
（1）風(fēng)險(xiǎn)因素集合表分為4個(gè)一級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素和18個(gè)二級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素，如表1所列。
（2）基于層次分析法計(jì)算一級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素的權(quán)重，計(jì)算過(guò)程及計(jì)算結(jié)果如表2。每個(gè)一級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素集中的各二級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素權(quán)重相同。
（3）針對(duì)本風(fēng)電項(xiàng)目的特點(diǎn)從專家?guī)熘谐槿?0名不同專業(yè)的專家，專家對(duì)項(xiàng)目最末層風(fēng)險(xiǎn)因素作出風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的判定，本文采用評(píng)價(jià)集V={風(fēng)險(xiǎn)高，風(fēng)險(xiǎn)較高，風(fēng)險(xiǎn)適中，風(fēng)險(xiǎn)較低，風(fēng)險(xiǎn)低}，根據(jù)專家對(duì)每個(gè)二級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素i的評(píng)價(jià)j，由式（1）計(jì)算每個(gè)二級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素的概率分布Pij，計(jì)算結(jié)構(gòu)如表3所示。
（4）運(yùn)用CIM并聯(lián)響應(yīng)模型，計(jì)算各主風(fēng)險(xiǎn)因素的概率分布。以環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)B4為例，計(jì)算其風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)概率分布。首先計(jì)算B41、B42組合概率P（B41，B42），計(jì)算過(guò)程如表4，
依次運(yùn)用并聯(lián)響應(yīng)模型計(jì)算得P（B1），P（B2），P（B3），P（B4），概率分布如表5。
（5）有上述數(shù)據(jù)綜合計(jì)算得出本風(fēng)電場(chǎng)投資總風(fēng)險(xiǎn)概率分布，計(jì)算過(guò)程如表6所示。
由表6可知，本風(fēng)電投資項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)較低的可能性最大，概率為44.36%，其次為風(fēng)險(xiǎn)低概率為43.41%，表明該風(fēng)電項(xiàng)目投資風(fēng)險(xiǎn)程度較低，應(yīng)當(dāng)盡快立項(xiàng)建設(shè)該風(fēng)電場(chǎng)。
4.結(jié)論
本文建立了以建設(shè)風(fēng)險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)、管理風(fēng)險(xiǎn)、環(huán)境風(fēng)險(xiǎn)為主要風(fēng)險(xiǎn)類別及18個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素構(gòu)成的風(fēng)電項(xiàng)目投資評(píng)估指標(biāo)體系，該評(píng)估體系涵蓋了影響風(fēng)電項(xiàng)目投資的主要風(fēng)險(xiǎn)因素。采用層次分析法分析計(jì)算出一級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素的權(quán)重，再結(jié)合CIM法對(duì)各指標(biāo)定量分析計(jì)算出各級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素概率分布。將各級(jí)風(fēng)險(xiǎn)因素的概率分布并聯(lián)疊加后得出項(xiàng)目總風(fēng)險(xiǎn)概率分布，從而確定出風(fēng)電項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)概率。在此基礎(chǔ)上，并進(jìn)行了實(shí)證分析，結(jié)果表明該實(shí)例項(xiàng)目具有較低的風(fēng)險(xiǎn)，可以進(jìn)行投資。
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