時間：2023-05-29 17:49:27
開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角形中線定理，希望這些內容能成為您創作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進步。
摘 要： 解三角形相關知識點是高考考查的重要內容，也是高考命題的熱點部分；而且這部分內容往往易于和其他知識相結合，特別是和三角函數、平面幾何、解析幾何、平面向量等知識相結合.為了更好地把握解三角形知識和其他知識的綜合運用，總結在解題中體現的函數、方程、數學結合的數學思想方法變得非常重要.高考題型是考查知識點為主，所以對于這幾部分知識的綜合應用越來越多，更需要我們平時在做題中加以積累，總結題型、方法，遇到問題才能駕輕就熟，處理問題才能游刃有余.
關鍵詞： 解三角形 函數 方程 數形結合
解三角形相關知識點是高考考查的重要內容，也是高考命題的熱點部分；而且這部分內容往往易于和其他知識相結合，特別是和三角函數、平面幾何、解析幾何、平面向量等知識相結合.為更好地說明解三角形知識和其他知識的綜合運用，以及在解題中體現的數學思想方法，本文以一例具體說明.
前不久在江蘇省泰州中學高三數學質量檢測試卷中偶得一題：等腰三角形ABC的腰AC上的中線BD的長為3，則ABC的面積的最大值為？搖？搖？搖.
因為題目的主要條件是①AB=AC；②腰AC上的中線BD的長為3.如何用好腰相等、中線這個條件變得非常重要，也是解決這個問題的關鍵.對于應用這兩個條件的方法不同，帶來我們解決數學問題的思想方法不同，就關鍵條件的運用，具體有七種方法.
一、海倫公式與基本不等式的結合（函數的思想）
解法7.分析：根據條件等腰三角形ABC，中線BD，可聯系平面幾何的知識，作底邊上的中線，這樣中線的交點即為三角形的重心，三角形的重心分中線的比為1：2，利用數量關系可以把求ABC面積的最值問題轉化為求BEG的面積的最值問題.而BEG為直角三角形，面積相對表示，這需要有細致的觀察能力，力求以形助數，利用數形結合思想處理問題也很快捷.
總之，解三角形相關問題，主要是正弦定理和余弦定理的應用.正弦定理是一個關于邊角關系的連比等式，在運用此定理時，只要知道其比值或者等量關系就可以通過約分達到解決問題的目.運用余弦定理時，要注意整體思想的運用.對于給出條件是邊角關系混合在一起的問題，一般地，應運用正弦定理和余弦定理，要么把它統一為邊的關系，要么把它統一為角的關系.再利用三角形的有關知識，三角恒等變形方法、代數恒等變形方法等進行轉化、化簡，從而得出結論.解決正弦定理和余弦定理的綜合應用問題，應注意根據具體情況引入未知數，運用方程思想解決問題；平面向量與解三角形的交匯問題，應注意準確運用向量知識轉化為解三角形問題，再利用正、余弦定理求解.當然在建立相等關系和解決具體問題時需要用到函數、方程、數形結合的思想方法.
一對直角三角形，有一組斜邊和直角邊對應相等，則兩個三角形全等。證明：根據勾股定理，可求出第三邊對應相等，根據邊角邊證明兩三角形全等。
直角三角形斜邊中線定理是數學中關于直角三角形的一個定理，具體內容為：如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
（來源：文章屋網 ）
方法如下:
1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。
2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。
3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。
4、過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”。
5、截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。
6、特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答。
（來源：文章屋網 ）
例1 已知直角三角形的兩邊的邊長分別為3和5，求該三角形的第三邊的邊長。
分析 已知直角三角形的兩邊，未指明是直角邊還是斜邊，因此邊5可能是直角邊，也有可能是斜邊，所以要進行分類討論求解。
解 根據三角形的邊角大小關系可知，3一定是直角邊，而5可能是直角邊，也可能是斜邊，故可分類求解。
（1）當邊5為直角邊時，三角形的第三邊為斜邊，長度為==。
（2）當邊5為斜邊時，三角形的第三邊為直角邊，長度為===4。
所以這個三角形的第三邊的邊長為或4。
點評 直角三角形的第三邊分為兩類：直角邊和斜邊。當已知兩邊求第三邊時，要分析其邊是直角邊還是斜邊，若題目未指明，則要進行分類討論求解。
二、方程思想
例2 如圖1所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8 cm，BC=10 cm，求EF的長。
分析 折疊就是軸對稱，因為ADE與AFE關于AE對稱，知AD=AF=10 cm，DE=EF。在RtABF中，根據勾股定理得BF=6 cm，所求EF在
RtECF和在RtAEF中，但都只知道一邊，不能求解。而在RtECF中，FC=4 cm，EF+EC=8 cm，利用勾股定理建立方程即可求得EF。
解 因為ADE與AFE關于AE對稱，所以AD=AF，DE=EF。
因為四邊形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，在RtABF中， AF=AD=BC=10 cm，AB=8 cm，
所以BF===6 cm。
所以FC=BC-BF=10-6=4 cm。
設EC=x cm，則EF=DE=（8-x）cm。
在RtECF中，EC 2+FC 2=EF 2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3。
則EF的長為5 cm。
點評 勾股定理只能用于已知直角三角形的兩邊求第三邊。當在直角三角形中，只知一邊，又知另兩邊的相應關系時，可用勾股定理建立方程（組），通過解方程（組），即可求得該三角形的邊長。
三、化歸思想
例3 如圖2，已知：在ABC中，∠B=60°，AC=70，AB=30。求BC的長。
分析 題中的三角形未確定是直角三角形，不能用勾股定理，由條件∠B=60°，想到構造含30°角的直角三角形，為此作ADBC于D（如圖3所示），則有∠BAD=30°，BD=AB=15，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長。
解 作ADBC于D，因為∠B=60°，所以∠BAD=90°-60°=30°，所以BD=AB=15。
根據勾股定理，在RtABD中，AD===15。
根據勾股定理，在RtACD中，CD===65。
所以BC=BD+DC=65+15=80。
點評 利用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的一個重要應用。當題目中沒有垂直條件時，經常作垂線構造直角三角形以便應用勾股定理。
四、轉化思想
例4 如圖4所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DEDF，若BE=12，CF=5。求線段EF的長。
分析 已知BE、CF，要求EF，但這3條線段不在同一三角形中，所以關鍵是轉化，根據直角三角形的特征以及三角形中線的特殊性質，不妨先連接AD。
解 連接AD。
因為∠BAC=90°，AB=AC。又因為AD為ABC的中線，
所以AD=DC=DB，ADBC，且∠BAD=∠C=45°。
因為∠EDA+∠ADF=90°。又因為∠CDF+∠ADF=90°。
所以∠EDA=∠CDF。所以AED≌CFD（ASA）。
所以AE=FC=5。同理，AF=BE=12。
在RtAEF中，根據勾股定理得，
(1)知識目標：1、掌握等腰三角形的兩底角相等，底邊上的高、
中線及頂角平分線三線合一的性質，并能運用
它們進行有關的論證和計算。
2、理解等腰三角形和等邊三角形性質定理之間
的聯系。
(2)能力目標：1、定理的引入培養學生對命題的抽象概括能力，
加強發散思維的訓練。
2、定理的證明培養大膽創新、敢于求異、勇于
探索的精神和能力，形成良好的思維品質。
3、定理的應用，培養學生進行獨立思考，提高獨
立解決問題的能力。
(3)情感目標：在教學過程中,引導學生進行規律的再發現，激發
學生的審美情感，與現實生活有關的實際問題使
學生認識到數學對于外部世界的完善與和諧，使
他們有效地獲取真知，發展理性。
教學重點等腰三角形的性質定理及其證明。
教學難點用文字語言敘述的幾何命題的證明及輔助線的添加。
達標進程
教學內容
教師活動
學生活動
一、前置診斷，開辟道路
1、什么樣的三角形叫做等腰三角形？2、指出等腰三角形的腰、底邊、頂角、底角。
首先教師提問了解前置知識掌握情況。
動腦思考、口答。
二、構設懸念，創設情境
1、一般三角形有哪些性質？
2、等腰三角形除具有一般三角形的性質外，還有那些特殊性質？
把問題作為教學的出發點，激發學生的學習興趣。
問題2給學生留下懸念。
三、目標導向，自然引入
本節課我們一起研究——等腰三角形的性質。
板書課題
了解本節課的學習內容。
四、設問質疑，探究嘗試
請同學們拿出準備好的等腰三角形，與教師一起按照要求，把兩腰疊在一起。
[問題]通過觀察，你發現了什么結論？
[結論]等腰三角形的兩個底角相等。
板書學生發現的結論。
[問題]可由學生從多種途徑思考，縱橫聯想所學知識方法，為命題的證明打下基礎。
[辨疑]由觀察發現的命題不一定是真命題，需要證明，怎樣證明？
[問題]1、此命題的題設、結論分別是什么？
2、怎樣寫出已知、求證？
3、怎樣證明？
[電腦演示1]
[投影學生證明過程，并由其講述]
從而引出定理等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）
通過電腦演示，引導學生全面觀察，聯想，突破引輔助線的難關，并向學生滲透轉化的數學思想。
引出學生探究心理，迅速集中注意力，使其帶著濃厚的興趣開始積極探索思考。
繼續觀察圖形
[問題]1、指出全等三角形中還有哪些
對應邊、對應角相等？
2、等腰三角形的頂角的平分線又有什么性質？
設問、質疑
小組討論，歸納總結，培養學生概括數學材料的能力。
教學內容
教師活動
學生活動
[辨疑]一般三角形是否具有這一性質呢？
[電腦演示2]
從而引出推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊，并且垂直于底邊.
“三線合一”性質等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
[填空]根據等腰三角形性質定理的推論，在ABC中
（1）AB=AC，ADBC，
∠＿=∠＿，＿=＿；
（2）AB=AC，AD是中線，
∠＿=∠＿，＿＿；
（3）AB=AC，AD是角平分線，
＿＿，＿=＿。
通過電腦演示，引出推論1，并引入[填空]、強調推論1的運用方法。
電腦演示給學生對推掄1留下深刻印象，并通過[填空]了解推論1的運用方法。
五、變式訓練，鞏固提高
達標練習一
A組：根據等腰三角的形性質定理
(1)等腰直角三角形的每一個銳角都等于多少度？
(2)若等腰三角形的頂角為40°，
則它的底角為多少度?
(3)若等腰三角形的一個底角為40°,則它的頂角為多少度?
B組：根據等腰三角形的性質定理
(1)若等腰三角形的一個內角為40°,則它的其余各角為多少度?
(2)若等腰三角形的一個內角為120°,則它的其余各角為多少度?
(3)等邊三角形的三個內角有什么關系?各等于多少度?
從而引出推論2等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60°.
題目設計遵循由易到難的原則，引導學生拾階而上。溝通等腰三角形的性質定理和三角形內角和定理的聯系，并引出推論2。
A組口答練習
B組討論后回答。
掌握等腰三角形性質定理的應用，訓練學生的類比思維，讓學生獲得從問題中探索共同的屬性和規律的思維能力。
教學內容
教師活動
學生活動
達標練
A組：等腰三角形斜邊上的高把直角分成兩個角，求這兩個角的度數。
B組：已知：如圖，房屋的頂角∠BAC=100°。求頂架上∠B、∠C、
∠BAD、∠CAD的度數。
理論聯系實際,
充分體現數學解決實際問題的作用,培養學生的應用意識,提高數學修養。
A組口答
B組獨立解答.
加深理解定理及推論1，能初步靈活地運用它們進行計算和論證。
布置作業：1、看書：P1——P3
2、課本P5想一想
教案設計說明
本節課是在學生掌握了一般三角形基礎知識和初步推論證明的基礎上進行學習的，擔負著訓練學生會分析證明思路的任務，等腰三角形兩底角相等的性質是今后論證兩角相等的依據之一，等腰三角形底邊上的三條主要線段重合的性質是今后論證兩條線段相等、兩個角相等及兩條直線垂直的重要依據。因此設計時，我分別從幾個方面作了精心策劃：
1、創設豐富的舊知環境，有利于幫助學生找準新舊知識的連接點，喚起與形成新知相關的舊知，從而使學生的原認知結構對新知的學習具有某種“召喚力”。
2、提供可探索性的問題，合理的設計實驗過程，創造出良好的問題情境，不斷地引導學生觀察、實驗、思考、探索，使學生感到自己就象科學家那樣提出問題、分析問題、解決問題，去發現規律，證實結論。發揮學生學習的主觀能動性，培養學生的探索能力、科學的研究方法、實事求是的態度。
3、在鞏固應用時，訓練題組的設計具有階梯性，加強了變式訓練，便于及時反饋。實際應用充分體現了數學解決實際問題的作用，培養學生的應用意識，提高數學修養。
案例1：如圖，已知AE是正方形ABCD中∠BAC的平分線，AE交BC、BD于點E、F，AC、BD相交于點O. 求證：OF= CE.
1. 直接利用三角形中位線定理證明
證明：過點O做OG∥CE，交AE于點G
AO=OC， OG∥CE
∴OG是ACE的中位線
∴OG= CE
又∠OGF=∠DAF=∠OFG=67.5°
∴OG=OF
∴OF= CE
評價：學生在學習了三角形中位線定理后，結合此題中的“O點是AC的中點”這個條件，最容易想到構造AEC的中位線OG，轉化為證明線段OG=OF即可.
2. 利用相似三角形的相似比證明
證明：∠OAF=∠FAB，∠AOF=∠ABE=90°
∴AOF∽ABE
∴ = = ①
又∠OAF=∠FAB，∠AFB=∠AEC=112.5°
∴ABF∽ACE
∴ = = ②
BF=BE
∴①×②得 = ，即OF= CE
評價：“a= b”型結論的等價結論是“ = ”，可以借助相似三角形的相似比來解決.尋找相似三角形或構造相似三角形是本題的關鍵.
3. 利用線段和差b=a+a證明
證明：
四邊形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD
∠DAF=∠DFA=67.5°
∴DA=DF
同理：BF=BE
OF=DF-DO，OF=OB-BF
∴OF+OF=DF-BF
∴OF+OF=BC-BE ∴2OF=CE
即：OF=CE
評價：“a= b”型結論的等價結論還可以是“b=a+a”，利用線段的和差關系以及線段的等量代換可以證出.
案例2：已知： 等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.AF是∠BAC的平分線，交BC于點E，BF⊥AE交AE的延長線于點F.求證：AE=2BF.
思路分析：由于此題條件中沒有明顯的中點條件，因此利用三角形的中位線定理證明比較困難，能否想到利用相似三角形的相似比來證明呢？圖中BFE與ACE顯然相似，但BF是BFE的直角邊，而AE是ACE的斜邊，明顯不對應，于是可以想到構造以BF為斜邊的直角三角形，這樣就可得方法1.
1. 利用相似三角形的相似比證明
證明：過F點做FM∥CA交BC于L點，交AB于M點.
FM∥AC ∴∠MFA=∠1
∠1=∠2 ∴∠2=∠MFA
∴MF=MA
∠BFA=90° ∴MB=MF=MA
FM∥AC，MB=MA
∴BL=LC= BC= AC
∠1=∠3，∠FLB=∠C=90°
∴BFL∽AEC
∴ = = ，即AE=2BF.
2. 利用直角三角形斜中線定理證明
證明：做AE的中點M，連接CM.以AB為直徑做圓O，則F、C、A、B四點共圓.
∠ACB=90°，MA=ME
∴CM= = = AE
∠1=∠2
∴FB=FC
∴FB=FC
又∠CFM=∠FMC=45°
∴CM=CF
∴BF= AE
即AE=2BF
評價：利用AE是直角ΔACE的斜邊，聯想到斜中線定理，轉化為證明線段BF=CM即可.
3. 利用折半方法證明
證明：做AE的中垂線交AB于G，交AE于M，連接EG.
MG垂直平分AE
∴GE=GA
∴∠GEA=∠2
∠1=∠2
∴∠GEA=∠1
∴EG∥CA
∴∠BEG=∠C=90°
∠EBG=45°
∴EB=EG
∠3=∠1
∴∠3=∠GEM
又∠F=∠EGM=90°
∴BFE≌EMG
∴BF=EM= AE
即AE=2BF
評價：把較長的線段AE折半，轉化為證明線段BF=EM即可.
4. 利用加倍方法證明
證明：延長BF、AC交于H點.
∠1=∠2，∠BFA=∠HFA=90°，AF=AF
∴ABF≌AHF
∴FB=FH，即BH=2BF
∠3=∠1，CB=CA，∠BCH=∠ECA=90°
∴BHC≌ΔACE
∴BH=AE
∴AE=2BF
評價：此種方法采用的是間接加倍方法，若直接加倍，則“延長BF到H點，使BH=2BF”，此時就要證明A、C、H三點共線，非常棘手，所以用間接加倍方法更有利.
教學啟示
1. 解題教學時應重視常規解題方法的教學
教師在幾何課證明教學時，應著重于對常規思維方法的分析，努力幫助學生找到最容易想到的、最容易掌握的解題方法，以使學生能突破原有的思維障礙，使教學建立在學生通過一定努力就可能達到的智力發展水平上，并據此確定知識與方法的廣度、深度.案例1中利用三角形中位線定理來證明，而案例2則采用加倍或折半的方法更適合學生.
2. 不斷滲透等價轉化等數學思想，培養學生創新思維
知識結構
重難點分析
本節的重點是矩形的性質和判定定理。矩形是在平行四邊形的前提下定義的,首先她是平行四邊形,但它是非凡的平行四邊形,非凡之處就是“有一個角是直角”,因而就增加了一些非凡的性質和不同于平行四邊形的判定方法。矩形的這些性質和判定定理即是平行四邊形性質與判定的延續,又是以后要學習的正方形的基礎。
本節的難點是矩形性質的靈活應用。由于矩形是非凡的平行四邊形,所以它不但具有平行四邊形的性質,同時還具有自己獨特的性質。假如得到一個平行四邊形是矩形,就可以得到許多關于邊、角、對角線的條件,在實際解題中,應該應用哪些條件,怎樣應用這些條件,經常讓許多學生手足無措,教師在教學過程中應給予足夠重視。
教法建議
根據本節內容的特點和與平行四邊形的關系,建議教師在教學過程中注重以下問題:
1.矩形的知識,學生在小學時接觸過一些,可由小學學過的知識作為引入。
2.矩形在現實中的實例較多,在講解矩形的性質和判定時,教師可自行預備或由學生預備一些生活實例來進行判別應用了哪些性質和判定,既增加了學生的參與感又鞏固了所學的知識.
3.假如條件答應,教師在講授這節內容前,可指導學生按照教材145頁圖430所示,制作一個平行四邊形作為教學過程中的道具,既增強了學生的動手能力和參與感,有在教學中有切實的體例,使學生對知識的把握更輕松些.
4.在對性質的講解中,教師可將學生分成若干組,每個學生分別對事先預備后的圖形進行邊、角、對角線的測量,然后在組內進行整理、歸納.
5.由于矩形的性質定理證實比較簡單,教師可引導學生分析思路,由學生來進行具體的證實.
6.在矩形性質應用講解中,為便于理解把握,教師要注重題目的層次安排。
矩形教學設計
教學目標
1.知道矩形的定義和矩形與平行四邊形之間的聯系;能說出矩形的四個角都是直角和矩形的的對角線相等的性質;能推出直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質。
2.能運用以上性質進行簡單的證實和計算。
此外,從矩形與平行四邊形的區別與聯系中,體會非凡與一般的關系,滲透集合的思想,培養學生辨證唯物主義觀點。
引導性材料
想一想:一般四邊形與平行四邊形之間的相互關系?在圖4.5-l的圓圈中填上“四邊形”和“平行四邊形”的字樣來說明這種關系:即平行四邊形是非凡的四邊形,又具有一般四邊形的一切性質;具有一些非凡的性質。
小學里已學過長方形,即矩形。顯然,矩形是平行四邊形,而且矩形還具有四個角都是直角(小學里已學過)等非凡性質,那么,假如在圖4.51中再畫一個圈表示矩形,這個圈應畫在哪里?
(讓學生初步感知矩形與平行四邊形的從屬關系。)
演示:用四根木條制作一個平行四邊形教具。利用平行四邊形的不穩定性,演示如圖4.52,當平行四邊形的一個內角由銳角變為鈍角的過程中,會發生怎樣的非凡情況,這時的圖形是什么圖形(矩形)。
問題1:從上面的演示過程,可以發現:平行四邊形具備什么條件時,就成了矩形?
說明與建議:教師的演示應充分展現變化過程,從而讓學生深切地感受到短形是無數個平行四邊形中的一個特例,同時,又使學生能正確地給出矩形的定義。
問題2:矩形是非凡的平行四邊形,它除了“有一個角是直角”以外,還可能具有哪些平行四邊形所沒有的非凡性質呢?
說明與建議:讓學生分組探索,有必要時,教師可引導學生,根據研究平行四邊形獲得的經驗,分別從邊、角、對角線三個方面探索矩形的特性,還可提醒學生,這種探索的基礎是矩形“有一個角是直角”矩形的四個角都相等(矩形性質定理1),要學生給以證實(即課本例1后練習第1題)。
學生能探索得出“矩形的鄰邊互相垂直”的特性,教師可作說明:這與矩形的四個角是直角本質上是一致的,所以不必另列為一個性質。
學生探索矩形的四條對角線的大小關系時,如有困難,可引導學生測量并比較矩形兩條對角線的長度,然后加以證實,得出性質定理2。
問題3:矩形的一條對角線把矩形分成兩個直角三角形,矩形的對角線既互相平分又相等,由此,我們可以得到直角三角形的什么重要性質?
說明與建議:(1)讓學生先觀察圖4.53,并議論猜想,如學生有困難,教師可引導學生觀察圖中的一個直角三角形(如RtABC),讓學生自己發現斜邊上的中線BO與斜線AC的大小關系,然后讓學生自己給出如下證實:
證實:在矩形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,AC=BD(矩形的對角線相等)。
,AO=CO
在RtABC中,BO是斜邊AC上的中線,且。
直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
例題解析
例1:(即課本例1)
說明:本題難度不大,又有助于學生加深對性質定理的理解,教學中應引導學生探索解法:
如圖4.5-4,欲求對角線BD的長,由于∠BAD=90°,AB=4cm,則只要再找出RtABD中一條直角邊的長,或一個銳角的度數,再從已知條件∠AOD=120°出發,應用矩形的性質可知,∠ADB=30°,另外,還可以引導學生探究AOB是什么非凡的三角形(等邊三角形),課本用了第一種解法,并給出了解幾何計算題書寫格式的示范;第二種解法如下:
四邊形ABCD是矩形,
AC=BD(矩形的對角線相等)。
又。
OA=BO,AOB是等腰三角形,
∠AOD=120°,∠AOB=180°120°=60°
∠AOB是等邊三角形。
BO=AB=4cm,
BD=2BO=24×4cm=8cm。
例2:(補充例題)
已知:如圖4.5-5四邊形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中點,EF平分∠BED交BD于點F。
(l)猜想:EF與BD具有怎樣的關系?
(2)試證實你的猜想。
解:(l)EF垂直平分BD。
(2)證實:∠ABC=90°,點E是AC的中點。
(直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半)。
同理:。
BE=DE。
又EF平分∠BED。
EFBD,BF=DF。
說明:本例是一道不給出“結論”,需要學生自己觀察猜想討論的幾何命題,有助于發展學生的推理(包括合情推理和邏輯推理)能力。假如學生不適應,或有困難,教師可根據實際情況加以引導,這種練習,重要的不是猜對了沒有?證實了沒有?而是讓學生經歷這樣一種自己研究圖形性質的過程,順便指出:求解本題的重要基礎是識圖技能能從復雜圖形中分解出如圖4.56所示的三個基本圖形。
課堂練習
1.課本例1后練習題第2題。
2.課本例1后練習題第4題。
小結
1.矩形的定義:
2.歸納總結矩形的性質:
對邊平行且相等
四個角都是直角
對角線平行且相等
3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
4.矩形的一條對角線把矩形分成兩個全等的直角三角形;矩形的兩條對角線把矩形分成四個全等的等腰三角形。因此,有關矩形的問題往往可化為直角三角形或等腰三角形的問題來解決。
作業
我說課的內容是人教版八年級下冊第十二章第三節——等腰三角形的性質，對于這堂課的教材分析及教學設計，現從教材分析、教學目標、教法學法分析、教學過程、幾點說明五個方面給大家介紹：
1教材分析
首先是教材地位和作用分析：本節課是在學生學習了一般三角形和軸對稱的基礎上學習的一種特殊的三角形，主要學習等腰三角形的性質。本節內容既是前面知識的深化和應用，又是今后學習等邊三角形，等腰梯形等幾何圖形的預備知識，還是證明角相等，線段相等及兩條直線互相垂直的重要依據。因此，本節內容在教材中處于非常重要的位置，起著承前啟后的作用。另外，研究和學習本課，對于培養學生的思維能力、分析能力，養成在等腰三角形中添加適當輔助線的意識，以及向學生滲透轉化的思想等方面起了很大的作用。在此基礎上，我確立本堂課的教學重點是等腰三角形的性質，難點是等腰三角形性質的證明。
2教學目標
這堂課的教學目標確定以下三個方面：
（1）使學生掌握等腰三角形的性質定理，并能進行初步應用
（2）培養學生在等腰三角形中添加適當輔助線的意識，并通過添加輔助線，向學生滲透轉化的思想，從而深入領會分析幾何證明題的方法。
（3）使學生進一步了解追尋規律，研究問題的方法，尤其是研究幾何對象的基本思路。
3教法與學法分析
組織學生以小組活動為載體，交流探究為主線進行學習，鼓勵學生積極感知，大膽猜想，并引導他們探究，論證，努力為學生搭建一個自由交流學習的空間和平臺，促進學生新的知識，能力生成。
4教學過程
4.1首先是興趣導入，復習舊知。師生共同欣賞一組軸對稱圖形的圖片，并讓學生按照軸對稱圖形的特點，利用兩個三角板構造一組圖形，要求：
（1）拼出的圖形是軸對稱圖形；（2）拼得的軸對稱圖形是三角形。
學生以小組的形式按要求拼圖，教師收集成果，并及時設問：
你拼出了一個什么樣的三角形？并質疑：“等腰三角形除了具有一般三角形的性質及兩腰相等的特點外，還有哪些特殊的性質？”從而引出課題。
學生通過自己動手，感知等腰三角形的對稱性，有趣的活動不但激發學生的學習興趣，還對接下來的性質探究和證明做鋪墊。
4.2設置情景，引導探究。首先，讓學生用直尺等工具在紙上畫一個等腰三角形，思考這樣一個問題“如果讓你來研究等腰三角形的特殊性質，你覺得要從哪些要素加以分析？”讓學生分成小組探討，學生在探討過程中，想到一般三角形的構成元素：邊，角，以及三角形的重要的三種線段，得到的結論可能不唯一，有些學生會想到從等腰三角形的兩個底角出發加以研究，還有思維靈活的同學可能會想到從等腰三角形的底邊上的中線，底邊上的高和頂角的角平分線加以研究；思維更加靈活，想象空間更寬廣的學生會想到兩腰上的中線，高加以研究，對于學生的探討結果，老師進行歸納，歸納出以下四個元素是我們這堂課研究的主要內容：（1）兩個底角；（2）底邊上的中線；（3）底邊上的高；（4）頂角的角平分線。引導學生的注意力集中到這四個方面來，面對這四個元素，再追問：“你可以用哪些方法分析這些要素？”大部分同學能想到用量角器測量，畫圖的方法。思維靈活的同學能想到利用軸對稱性質對折等腰三角形。教師針對學生的探究方法給予肯定，并讓學生親自操作，同時設問：“你發現這四個元素可能存在什么樣的關系？說說你猜想”學生通過實驗進行猜想，會發現兩個底角相等，三條線段為同一線段。老師再次歸納學生的結論，并對他們的探究成果給予肯定。通過這個環節，不僅使學生體會到知識的發生，發展過程，還能較好的培養學生發現問題，解決問題的能力。
4.3證明猜想，形成定理。老師先質疑：“哪個同學畫出的等腰三角形沒有這兩個特點？”同時設問：“所有的等腰三角形都具備這兩個特點嗎？”對于學生的肯定回答，老師聲明，要想加以確認，必須進行理論證明，讓學生感受數學的嚴謹性。
這樣用文字證明的幾何問題，包括了證明的三個步驟，對于學生來說有一定的難度，因此，我決定通過三個問題的解答，幫助學生理順思路，化解難題。問題一：找出命題“等腰三角形兩個底角相等”的題設，結論，并根據畫出的圖形寫出已知，求證。這個設計，使學生體會將文字語言翻譯成數學語言，幫助學生寫出已知，求證。問題二：證明兩個角相等的方法有哪些？ 該問題供給學生解決新問題的思路，引導學生用舊知識，解決新問題，體會數學中的轉化思想。問題三：怎樣把等腰三角形分成兩個全等三角形呢？本題中輔助線的添加是這堂課的一個難點，由此，我決定讓學生把課堂開始拼得的等腰三角形拿出來，并讓學生回憶拼圖的過程，學生能夠很快發現等腰三角形是用兩個全等的三角形組成，重合的線段是對稱軸。在此基礎上繼續設問：當這條對稱軸隱藏起來了，怎樣把等腰三角形分成兩個全等的三角形？由于對知識的發生，發展有了充分的了解，學生通過探討，可能會出現以下三種解決方法：（1）做底邊的中線（2）做底邊的高（3）做頂角的角平分線。以以做底邊上的中線為例，讓學生陳述證法，老師板書，規范書寫。
這個過程不僅使學生了解了做證明題的三個步驟，而且使學生體會到數學中化未知為以知的轉化思想，讓學生體驗數學中發現，再創造的過程，進一步培養了學生分析問題，解決問題的能力。
4.4講練結合，加深認識。 第一題是口答練習，使學生能夠利用性質一解決問題，第二題是將證明的理論翻譯成數學語言，為以后解決角度相等，線段相等，線段垂直的問題提供了新的依據和方法。并再此基礎上設問：“若等腰三角形中的三線出現一線，你會想到什么？若等腰三角形中的三線一線未出，你應該想到什么？”聽過這個問題的解答，使學生對性質定理的認識實現了飛躍。第三題源于課本，師生共同完成，目的在于培養學生正確應用所學知識的應用能力，鞏固所學性質。
4.5歸納小結，當堂測試。 首先小結部分引導學生自己總結知識點，思想方法上的收獲，幫助學生構建比較完善的知識結構，歸納數學學習中常用的思想方法，從而提高他們自主學習，獨立學習的能力。
當一個人進入社會之后,還要在工作中不斷學習新的知識和技能,這時候,一個人學習效率的高低則會影響他(或她)的工作成績,繼而影響他的事業和前途。那么你們知道關于初三上冊期末數學復習資料內容還有哪些呢?下面是小編為大家準備2021年初三上冊期末數學復習資料大全，歡迎參閱。
初三上冊期末數學復習資料章一1.通過猜想,驗證,計算得到的定理：
(1)全等三角形的判定定理：
(2)與等腰三角形的相關結論:
①等腰三角形兩底角相等(等邊對等角)
②等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合(三線合一)
③有兩個角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊)
(3)與等邊三角形相關的結論：
①有一個角是60°得等腰三角形是等邊三角形
②三個角都相等的三角形是等邊三角形
③三條邊都相等的三角形是等邊三角形
(4)與直角三角形相關的結論：
①勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方
②勾股定理逆定理：在一個三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形一定是直角三角形
③HL定理：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個三角形全等
④在三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半
2.兩條特殊線
(1)線段的垂直平分線
①線段的垂直平分線上的點到線段兩邊的距離相等
互為逆定理{
②到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上
③三角形的三條垂直平分線交于一點，并且這一點到這三個頂點的距離相等
(2)角平分線
①角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等
互為逆定理{
②在一個角的內部，并且到這個角的兩邊距離相等的的點，在這個角的角平分線上
3.命題的逆命題及真假
①在兩個命題中，如果一個命題的條件與結論是另一個命題的結論與條件，我們就說這兩個命題互為逆命題，其中一個是另一個的逆命題
②如果一個定理的逆命題是真命題，那么他也是一個定理，我們稱這兩個定理為互逆定理
③反正法：從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件，定理相矛盾，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，使命題獲得了證明
初三上冊期末數學復習資料章二1.平行四邊形
定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
性質定理:
(1)兩組對邊分別相等
(2)平行四邊形對角相等
(3)對角線互相平分
判定定理：
(1)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
(2)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
(4)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
2.等腰梯形
定義：兩腰相等的梯形叫等腰梯形
性質定理：
(1)同一底上的兩個角相等
(2)等腰梯形的對角線相等
判定定理：
(1)同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
(2)兩條對角線相等的梯形是等腰梯形
定理：夾在兩條平行線中間的平行線段相等
3.三角形和梯形的中位線：
(1)三角形的中位線
定義：三角形中任意兩邊中點的連線，叫三角形的中位線(三角形有三條中位線)
性質定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半
(2)梯形的中位線
定義：梯形兩腰中點的連線，叫梯形的中位線，梯形的中位線平行于上底下底
性質定理：梯形的中位線等于上，下底之和的一半
4.矩形特殊的平行四邊形
定理：一個角是直角的平行四邊形是矩形
性質定理：
(1)矩形的四個角都是直角
(2)矩形的對角線相等
判定定理：
(1)三個角都是直角的四邊形是矩形
(2)對角線相等的平行四邊形是矩形
推論：直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半
逆定理：如果一個三角形中，一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形
5.菱形特殊的平行四邊形
定義：一組鄰邊相等的的平行四邊形是菱形
性質定理：
(1)菱形的四條邊都相等
(2)菱形的對角線互相垂直，并且每一條線平分一組對角
判定定理：
(1)四條邊都相等的四邊形是菱形
(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
面積計算：菱形的面積等于其對角線乘積的一半
6正方形特殊的平行四邊形
定義：每一個角都是直角，并且鄰邊相等
性質定理：
(1)正方形的四條邊都相等，四個角都是直角
(2)對角線互相垂直，平分，相等，并且每一條對角線平分一組對角
判定定理：
(1)有一個角是直角的菱形是正方形
(2)一組鄰邊相等的矩形是正方形
(3)對角線相等的菱形是正方形
(4)對角線互相垂直的矩形是正方形
7.連接四邊形各個中點得到
(1)依次連接任意四邊形各邊中點能得到平行四邊形
(2)依次連接平行四邊形各邊中點能得到平行四邊形
(3)依次連接菱形各邊中點能得到矩形
(4)依次連接矩形各邊中點能得到菱形
(5)依次連接正方形各邊中點能得到正方形
第四章視圖與投影
1.三視圖
主視圖左視圖
俯視圖
(1)主視圖與左視圖要高平齊
(2)主視圖與俯視圖要長對正
(3)俯視圖與左視圖要寬相等
2.投影
①平行投影
②中心投影
視點，視線，盲區
第五章反比例函數
k
1.定義：y=-(k≠0)
x
xy=k(k≠0)
y=kx-1(y≠0)
k
2.性質：y=-(k≠0)
x
①k>0時，圖像在一，三象限，并且在每個象限內y隨x增大而減小
②k
3.會與一次函數相結合
一次函數：y=kx+b(k≠0)
性質①k>0時，y隨x的增大而增大
②k
b:在y軸上的截距
第六章頻率與概率
1.理論概率
(1)只涉及一步試驗概率
多次試驗得到的試驗頻率就等于理論概率
(2)涉及兩步試驗
①樹狀圖
②列表法
(3)試驗做估
初三上冊期末數學復習資料章三1.一元二次方程：只含有一個未知數X的整式方程，并且可以化成aX?+bX+C=0(a≠0)形式稱它為一元二次方程
aX?+bX+C=0(a≠0)一般形式
aX?叫二次項bX叫一次項C叫常數項a叫二次項系數b叫一次項系數
2.一元二次方程解法：
(1)配方法：(X±a)?=b(b≥0)注：二次項系數必須化為1
(2)公式法：aX?+bX+C=0(a≠0)確定a,b,c的值，計算b?-4ac≥0
若b?-4ac>0則有兩個不相等的實根，若b?-4ac=0則有兩個相等的實根，若b?-4ac
若b?-4ac≥0則用公式X=-b±√b?-4ac/2a注：必須化為一般形式
(3)分解因式法
①提公因式法：ma+mb=0m(a+b)=0
平方差公式：a?-b?=0(a+b)(a-b)=0
②運用公式法：{
完全平方公式：a?±2ab+b?=0(a±b)?=0
③十字相乘法
例題：X?-2X-3=0
1\/111
×｝X?的系數為1則可以寫成{常數項系數為3則可寫成{
1/\-31-3
--------
-3+1=-2交叉相乘在相加求值，值必須等于一次項系數
一、教學誤區
1.數學思維的含金量不高
蘇科版《義務教育教科書?數學》（以下稱“蘇科版”）八年級上冊教材，在“等腰三角形的軸對稱性”這一內容中，就探究“等腰三角形的性質”提供了下列教學素材：把等腰三角形紙片（圖1）沿頂角平分線折疊，你有什么發現？
……
探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一內容，又提供了下列教學素材：剪一張直角三角形紙片，如圖2（1）。
……
把紙片按圖2（2）所示的方法折疊，再把紙片展開并連接CD（如圖2（3）），你發現了什么？
……
教材的編寫意圖，顯然是要讓學生通過實驗操作來獲取等腰三角形的性質及“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”等一系列的結論。這種由操作到結論的方法，解決問題的入口寬，操作簡便，不失是一種幫助學生探究問題的好辦法。
教學中，如果將教材中的操作原封不動地呈現給學生，對于基礎差一點的學生，運用這種方法，顯然在激發學生興趣的同時也獲取了知識。而對于基礎好一點、思維能力強一點的學生，讓他們被動地按照上述的操作指令進行實驗，即使得到有效結論，也只是在茫然中獲取的。這種“指令性操作”，只有折疊的技術要求，沒有思維的活動內涵，久之，勢必削弱學生數學思維的含金量。如果只是用技術做實驗，那么數學課與技術課、勞技課還有差別嗎？建立在“指令性操作”這一層面上的實驗與教學中一貫反對的“告訴式”、“注入式”教學有差別嗎？這值得研究與探討。
2.實驗價值利用率不大
“蘇科版教材”（八年級上冊），在“多邊形的內角和與外角和”這一內容中，提供了下列教學素材：
在小學里，我們曾經把一個三角形的3個角拼在一起，發現了“三角形的內角和是180°”的結論。（筆者以下稱“拼角實驗”）
如圖3，在ABC的邊AC所在的直線繞點A按逆時針方向旋轉的過程中，直線AC與邊BC的延長線分別交于點C1、C2、C3……
（1）在上述過程中，哪些角的大小發生了變化？
（2）度量∠BAC與∠ACB，并求它們的和;度量∠BAC1與∠AC1B、∠BAC2與∠AC2B、∠BAC3與∠AC3B……并分別求它們的和。你發現了什么？
（3）當直線AC繞點A旋轉到AC′，使AC′∥BC′時，度量∠BAC′的度數，你發現了什么？（筆者以下稱“轉角實驗”）
“拼角實驗”主要是發現三角形內角和定理，并由拼角實驗的啟發，得到證明三角形內角和的輔助線。而在實際教學中，老師只開發出實驗的發現價值，實驗結束后，沒有將研究的價值從拼角的過程中遷移到論證的輔助線的作法上來，這樣就喪失了這個實驗的教學價值。
同樣，在“轉角實驗”中，其價值一是用“控制變量法”來研究三角形的內角和。即控制三角形中的一個內角∠B不變，通過變化∠BAC、∠ACB的大小，發現∠BAC與∠ACB的和不變，進而得到三角形的三個內角的和不變，是一個固定值，從而激發學生進一步的探究欲望。價值二是探究三角形三個內角和這個固定值是多少，發現三角形內角和定理。價值三是從實驗的過程中，尋找到證明三角形內角和定理的輔助線的另一種作法，從而為證明三角形內角和為180°服務。在教學過程中，教師往往將轉角實驗單一地理解為發現三角形內角和定理，價值一、價值三被忽視了。
3.數學本質的遷移性不強
“蘇科版教材”（七年級上冊）有這樣一道習題：
桌子上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉2只，能否經過若干次翻轉使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉3只，能否經過若干次翻轉使7只杯子的杯口全部朝下？
教學中有不少教師讓幾位同學拿上7個紙杯到講臺桌旁進行實驗，或者讓學生預先準備好紙杯，上課時自我實驗。第一次，翻動后有2只杯子口朝下，5只杯子口朝上;第二次，翻動后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上;第三次，翻動后有6只杯子口朝下，1只杯子口朝上;第四次，翻動后有4只杯子口朝下，3只杯子口朝上……一分鐘過去了，兩分鐘過去了，四分鐘過去了……時間一分一秒的流逝了，學生卻隨著時間變得昏昏沉沉，手忙腳亂，連翻動了幾次也數不清，怎么也想不出來解決這個問題的思路。最后，教師不得不告訴學生，無論翻動多少次，杯口朝上的都是奇數不是偶數，所以無論翻動多少次都是不可能杯口全部朝下的，這才將本問題勉強解決了。究其原因，這是教師、學生看不清問題而造成的。
二、矯正方法
1.數學實驗要在價值立意上作設計
數學實驗的價值立意必須是建立在數學思維活動之上，如果離開了數學思維，將實驗定位在按提供的實驗程序進行機械的操作，那只能算是一個簡單的技術活動，這樣的活動只有動手沒有動腦，已偏離數學的軌道，失去了數學味道，在數學教學上就沒有意義了。
要凸顯數學實驗的教育價值，必須讓其既具有科學實驗的一般立意，又具有數學學科特有的思維魅力。即讓數學實驗也遵循科學實驗“目的――實驗――猜想――論證――結論”的一般規律。基于這樣的認識，可以對文中提及的“等腰三角形的性質”的教學素材進行如下處理。
實驗1：探究“等腰三角形的性質”
【實驗目的】通過1次折疊1個等腰三角形形成2個全等的直角三角形的活動，發現等腰三角形的性質。
根據上述實驗目的，教師可以設計下列活動，讓學生進行數學思考。
（1）師：今天老師為同學們準備了一些等腰三角形紙片和直角三角形紙片，這節課就和同學們玩玩這些紙片，同學們有沒有興趣？
設計意圖：用這樣的開場白，來激發學生的積極性。
（2）師：如何將手中的1個等腰三角形紙片，通過1次折疊形成2個全等的直角三角形？
設計意圖：提出這個問題，引發學生弄清折疊的要求，進而探尋折疊的方法。這個過程，就是教師層面上設計數學實驗的過程，主要由教師站在數學背景的高度來提出問題，讓學生探尋實驗方案。
【實驗活動】讓學生根據教師提出的實驗要求，在思維場景中去探尋折疊與相等、對稱的關系，從而讓學生進行數學思考，而不是讓學生麻木地去折、去猜、去碰，最終形成學生層面上的實驗方案，進而達到教材中折疊的技術要求。
方案1：根據“相等原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數學活動）――重合（數學觀念）――相等（數學結論）”這一“相等”的思路，進行折疊。
方案2：根據“對稱原理”形成折疊方案。即沿著“折疊（數學活動）――重合（數學觀念）――對稱（數學結論）”這一“對稱”的思路，進行折疊。
學生經過這個思維背景再進行數學實驗（折疊），不但驗證了自己的想法（方案）可行可用，而且還錘煉了數學思維。對于思維層次不高的學生，讓他們自主地構建上述活動顯然有困難，這個困難主要是怎么設計出折疊的方案，而對于折疊的技術，他們在與其他同學討論交流中，也能完成這樣一個折疊操作，并且在這個活動中并沒有降低課本對他們的基本要求。
【數學猜想】實驗是表征，通過實驗發現數學結論才是本源。為此，實驗后，教師要讓學生直逼數學本質。這個活動一般可運用下列方法來進行。
師：通過這個數學實驗，你可以得到哪些數學結論？
設計意圖：讓學生通過實驗的過程，得到“等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線所在的直線、底邊上的高所在直線、底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸;等腰三角形的兩底角相等;等腰三角形底邊上的高線、中線、頂角平分線重合”數學猜想。
【數學證明】實驗得到的數學猜想，是基于直覺和簡單邏輯下形成的，那么就有必要對數學猜想進行數學證明，因為數學的最高境界便是證明。為了實現上述目的，可以設計下列問題，引發學生證明。
師：你上述的猜想一定正確嗎？
設計意圖：引發學生進行理性證明。
【數學結論】通過折疊，輔之于觀察、抽象、歸納、簡單的推理等思維活動，形成了數學猜想;通過數學論證，即通過嚴格的數學推理、有力的數學證明，得到了絕對真理的數學結論。如何證明這個數學結論，是脫離數學實驗，另辟蹊徑;還是回歸實驗，探尋靈感？顯然是要讓學生透過實驗現象，探求形成現象的本質，完成論證猜想的證明。所以在這個教學環節中，探究輔助線的作法，一定要讓學生回歸折疊的過程，不僅要讓學生正確地引出輔助線，而且還要讓學生體驗輔助線誕生的必要性與合理性，這才能體現數學實驗的本質價值。
【經驗積累】任何一個數學活動，都要讓學生形成活動經驗。因為只有活動沒有經驗的過程，只能是一個執行命令的過程，它永遠停留在重復別人想法的過程中，所以只有通過活動形成自己特有經驗，才是一個將別人的想法內化為自己知識的過程，這才是學習的真正目的。這個實驗活動，帶給學生的經驗主要有上述提及的“相等思維”和“對稱思維”這兩種思維方法，它既是設計折疊實驗方案的基本思路，也是解決折疊問題的基本方法。
完成了探究等腰三角形的性質后，還可以用下列實驗活動來探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的問題
數學實驗2：探究“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”
問題1：既然1個等腰三角形紙片通過1次折疊可以形成2個全等的直角三角形，那么可不可以將一個直角三角形通過2次折疊，形成2個等腰三角形呢？
問題2：從將1個直角三角形通過2次折疊，形成2個等腰三角形的實驗中，你們又可以得到哪些數學猜想？
問題3：你準備如何來論證這個結論？
……
這三個問題鏈的設計，也是基于“目的――實驗――猜想――論證――結論”的理念。有價值的思維永遠不是建立在技巧上，而是體現在解決一類問題的通法上，因為它是教育規律在教學實踐中的具體體現。
2.數學實驗要在過程分析上作整合
在“等腰三角形的性質”中，已提及到數學實驗要在其過程中吸取養分，下面再根據“三角形內角和定理”，重點談談這個話題。
三角形內角和的實驗，其立意就是把三角形的三個內角，適當地“搬搬家”，組合變成我們熟知的180°的角。學生在學習此內容時，已有平角的度數是180°、鄰補角的度數是180°、平行線形成的同旁內角的和是180°等知識諸備。就“拼角實驗”而言，形成新角的過程一是形成平角，二是形成鄰補角。就“轉角實驗”而言，形成新角的過程是平行線下的同旁內角。這三種拼角的過程非常重要，它是形成證明三角形內角和定理輔助線的關鍵，也是設計這個實驗的價值所在，教學中不容忽視。
（1）拼角實驗下產生的輔助線
①由拼成平角的實驗（圖4），可以構造出過點A引BC平行線DE的輔助線（圖5）的證法。
②由拼成鄰補角的實驗（圖6），構造出延長BA到E，并過點A引BC平行線AD的輔助線（圖7）的證法。
（2）轉角實驗下產生的輔助線
由拼成平行線下的同旁內角互補的實驗（圖8），可以構造出過點A引BC平行線AD的輔助線（圖9）的證法。
通過實驗，可以得到三角形內角和為180°的假設，通過證明，得到了三角形內角和定理。看似這一過程比較圓滿，在此建議增加一個對上述思維過程的反思環節。可以引導學生對上述實驗活動進行研究反思，正因為三角形的三個內角的和是180°，我們才可以設計出“拼角實驗”，才可以通過“拼角實驗”順利尋找出將三角形的三個內角拼成一個平角的輔助線、才可以順利尋找出將三角形的三個內角拼成鄰補角的輔助線來證明內角和定理;正因為三角形的三個內角的和是180°，我們才可以設計出“轉角實驗”，才可以順利尋找出通過將三角形的三個內角拼成平行線形成的同旁內角的輔助線來證明此定理。
3.數學實驗要在問題本質上作文章
數學實驗與理性思維怎么處理，一直是數學實驗關注的問題。物理、化學實驗，常常是重過程現象，更重實驗結果。而數學實驗教學中，要關注的是動手思考的習慣，更注重的是實驗過程中數學本質的揭示。一個好的數學實驗，要能引導學生思考問題，在實驗中抽象出一般的原理，用數學語言講出數學故事。
文中所提及的“翻轉杯口”的實驗，如果教師看不清、看不準這個問題的數學本質，只能是引導學生機械地進行這個實驗，學生必然得不到深層次的思考。這個問題的數學本質是將實驗中的問題抽象為通過改變乘積中因數符號的個數，進而確定積的符號是否發生變化這樣一個數學問題。基于這樣的認識，就能找到這個問題規律化的結論。因此，可以將本問題作如下拓展。
結合上述解題經驗，請探究：給定正面向上的撲克牌m張，每次翻動n張（m不能被n整除），試研究是否可以經過改變一張或幾張牌的正反面，將桌面上的撲克牌全部反向。
我們不妨將正面向上的每張牌看成數+1，反面向上的每張牌看成數-1，每翻動一張牌，則桌子上所有牌所寫的數的積就改變一次符號（由-1變為+1）。類似于，若一次翻動n張，就改變n次符號。因此，若n為奇數，由于奇數個-1的積為-1，桌子上所有牌所寫的數的積就改變了符號;而若n為偶數，由于偶數個-1的積為+1，桌子上所有牌所寫的數的積仍保持原來的符號。
當m為奇數時，要將所有正面向上的牌最終翻動成都反面向上，須改變積的符號。由上可見，若n為偶數，那是不可能做到的;而若n是奇數，則有可能做到，且翻動的次數必須奇數次。
當m是偶數時，要將所有正面向上的牌最終翻動成都反面朝上，不須改變積的符號。由上可見，若n為奇數，須翻動偶數次可達目的;若n是偶數，翻動次數可以是奇數也可以是偶數（如表1）。
數學實驗隨著課程改革的深入，越發顯示出其強大的生命力，這是毋庸置疑的。本文提及的案例，只是在實施這一理念中教學行為上的一些偏差，我們期待更好更多的數學實驗教學成果的涌現。
以現代教育思想觀念武裝頭腦，是探索數學研究性學習的關鍵。現代教育思想觀念要求，在探索研究性學習時，要以現代化教育思想觀念武裝自己的頭腦，要能跳出數學看數學。新課標的教育理念認為，創新意識和創新能力不是教出來的，而是通過獨立的思考和有利于創造性思維的環境激發出來的。要在課堂教學中合理滲透過程是探索數學研究性學習的突破口。
案例：《等腰三角形性質定理二》探討課
1.提出問題
等腰三角形，除了兩個底角相等的性質外，還有哪些性質呢？
2.實驗探索
先用一張長方形紙片剪一個等腰三角形。將等腰三角形對折，使兩腰重合，然后打開對折的三角形，觀察折痕，猜想折痕有哪些性質，等腰三角形有哪些性質？
3.設置問題
（1）這個猜想是等腰三角形所特有的嗎？不等邊三角形會不會也有這些特點呢？
（2）是不是所有的等腰三角形都具備這個特點呢？
4.推理論證
（1）出示一個不等邊三角形（用《幾何畫板》），畫出同一邊上的高線、中線、角平分線，觀察三線并不重合。
（2）慢慢拖動三角形一頂點，將不等邊三角形轉化為等腰三角形，發現底邊上的高線、中線、頂角的平分線互相重合。
（3）在教師的指導下，由學生證明發現的結論。
5.得出結論
本節探討課變直接給出定理為發現定理，讓學生人人參與定理的發現過程，活躍學生的思維。
一、數學開放題是實施數學研究性學習的載體
例如，怎樣測量學校旗桿的高度。針對各種不同的實際情況，設計出不同的測量方法。
這是一道綜合開放題，其條件、策略、結論都是開放的。（1）條件的開放性。可考慮的各種不同的條件大致有：旗桿的大小，旗桿周圍的地理環境和測量者能涉足的位置、測量工具。（2）策略的開放性。可考慮的各種不同的策略大致有：直接測量、利用勾股定理進行計算。利用相似三角形的比例關系進行計算，利用三角函數進行計算等。通過這樣的活動不但使學生鞏固了解直角三角形的有關知識，而且使學生體會了數學的應用，以及如何創設條件將一個現實問題轉化為一個數學問題。
二、注重用數學知識和數學方法處理周圍的社會生活問題是研究性學習的延伸
教師在注重對學生的基礎知識、基本技能進行教學的同時，更應重視學生數學思想和方法的學習以及數學能力的提高，要讓學生多思、多想、多探索、多領悟，引導學生增強自己理解、分析、歸納等處理問題的能力。讓學生憑借自己的智慧和能力，積極、獨立地思考問題，主動探索知識，創造性地解決社會生活實際問題。
如，裁縫師傅要想在一塊三角形的布料上剪出一個半徑盡可能大的圓做裙子，應該如何剪才能符合要求？這個問題可歸納為怎樣作一個圓和三角形的三邊都相切的問題。又如，木工把一塊直角三角形的木板加工成一張正方形桌子的臺面，方法有很多，但若要求臺面的面積最大，他應該怎么做呢？這個問題歸結為二次函數的最大值問題。
關鍵詞：面積方法；初等幾何；面積比；等積變形
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）21-167-01
面積方法直觀、形象，與三角形全等相比更具普遍性。面積方法幾乎可以證明初等幾何中的所有定理，它的思想依據簡明、簡潔，內涵卻深刻、豐富，具有特殊的幾何意義，其實際應用高明、獨到，往往可以化難為易，化復雜為簡單，在初等幾何問題的解決中顯示出了強大的生命力，對解決某些幾何問題有事半功倍的效果，其巧妙之處為人稱道，本文將通過實例來說明。
一、解決線段關系
證明線段的比例關系
例1.證明塞瓦定理（考慮任意點在三角形內）。
如圖1，設 為 內任意一點， 、 、 分別交對邊于 、 、 。
則 。
分析：直接考慮它們的比例關系很難下手，若能將線段之比轉化為相應三角形的面積比，就會更簡單。
證明：設 、 、 的面積分別為 、 、 ，
分別過 、 作 、 垂直于 ，垂足為 、 ，
則 ∽ ，
由性質2
，
（1）
同理有
（2）
（3）
（1）×（2）×（3）得：
。
二、證明角的關系
下邊是一個很簡單但很好的例子，問題設計得非常巧妙，用面積再合適不過.
例2. 如圖5， 中， 、 是 、 邊上的點，且 ， 、 交于G。
求證： 平分
分析：連接 、 ，已知 ，若
善于觀察，會發現 和 的面積是相等
的，都等于 面積的一半，看出這一點
也就知道下一步該做什么。
證明：作 、 分別垂直于 、 ，
、 是垂足，再連接 、 ，
則則SBCF=SDCE = ABCD，
而 ，
，
≌ ，
= ，即 平分 .
本題由等面積、等底得出等高，進而求得三角形全等，對應角相等。
三、面積法作圖
面積方法可以作圖，下面例舉個簡單例子。
例3. 已知 ， 為 上一點，求作一過 的直線平分 的面積。
分析：我們知道，三角形任一條中線剛好平分三角形的面積，我們考慮利用其中線和等積變形來作圖。作法：
1.如圖3，作中線 ，連接 ；
2.過 作 ∥ 交 于 ；
3.連接 ，則 即所求直線。
證明：
是中線，
，
又 ∥ ，
，
=
=
在初等幾何中幾乎到處都能見到面積方法的身影，面積方法的應用變得越來越普遍，它的思想和方法也越來越完善，相信面積方法能走得更遠。
參考文獻：
