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開篇：寫作不僅是一種記錄，更是一種創(chuàng)造，它讓我們能夠捕捉那些稍縱即逝的靈感，將它們永久地定格在紙上。下面是小編精心整理的12篇三角函數(shù)值，希望這些內(nèi)容能成為您創(chuàng)作過程中的良師益友，陪伴您不斷探索和進(jìn)步。
關(guān)鍵詞：直角三角形；邊角關(guān)系
中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）04-244-01
直角三角形的邊角關(guān)系，在現(xiàn)實世界中應(yīng)用非常廣泛。而銳角的三角函數(shù)在解決實際問題中有著重要的作用，如測量距離、角度、高度等問題，特殊角30度、45度、60度角的三角函數(shù)值也是經(jīng)常用到的，但許多學(xué)生在應(yīng)用這些特殊角的三角函數(shù)值解決問題時，卻總是出現(xiàn)記憶不牢靠或者張冠李戴的現(xiàn)象，如何讓學(xué)生牢固并熟練掌握這些特殊角的三角函數(shù)值呢？我覺得可以從以下幾個方面去加強。
一、引入圖形，讓學(xué)生建立清晰的第一印象
由于含30度、45度、60度的直角三角形三邊之間有著特殊比例關(guān)系，因此，教學(xué)時為了便于學(xué)生理解和記憶，可以根據(jù)含這些特殊角的三角形的邊角之間的關(guān)系，畫出相應(yīng)的圖形，如30度角所對的直角邊，所臨的直角邊，斜邊之比為1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三邊之比為1∶1∶√2，讓學(xué)生自己獨立完成這幾個特殊角的三角函數(shù)值的求值過程，學(xué)生根據(jù)定義，便可得到各角的三角函數(shù)值，學(xué)生經(jīng)歷了特殊角的三角函數(shù)值的求值過程，由于圖形的直觀作用，必然會產(chǎn)生清晰的第一印象，方便了記憶。
二、利用三角函數(shù)的增減規(guī)律進(jìn)行記憶
在直角三角形中，當(dāng)銳角的度數(shù)一旦確定，它對應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值也隨之確定，當(dāng)銳角的度數(shù)發(fā)生變化，它的正弦值、余弦值、正切值也隨之發(fā)生變化，為了幫助學(xué)生探索并理解隨著銳角度數(shù)的增大或減小，它對應(yīng)的正弦值、余弦值、正切值變化的規(guī)律，可設(shè)計有公共銳角頂點且一直角邊有重疊，以及斜邊相等的一系列直角三角形，通過圖形，學(xué)生會直觀的感受到，當(dāng)銳角的度數(shù)逐漸增大，它所對的直角邊也隨之增大，它所鄰的直角邊則隨之減小，所以會很自然地得出結(jié)論，正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小，正切值隨銳角的增大而增大，用銳角三角函數(shù)的增減性，學(xué)生記憶這幾個特殊角的三角函數(shù)值就會容易許多。
三、尋找數(shù)字規(guī)律巧妙記憶
在記憶30度、45度、60度角的三角函數(shù)值時，可引導(dǎo)學(xué)生通過比較，尋找數(shù)字規(guī)律，巧妙記憶，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次對應(yīng)為：1即√1，√2，√3，而余弦值分子則分別是√3，√2，√1即1，分母也都是2。
四、利用互余兩角正弦和余弦之間的關(guān)系，及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，通過比較與聯(lián)系記憶。
【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)；誘導(dǎo)公式；推導(dǎo)；口訣
三角函數(shù)誘導(dǎo)公式是高二數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容：通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，學(xué)生可以領(lǐng)悟三角函數(shù)變化的周期性規(guī)律，并且掌握由特殊推導(dǎo)一般的知識發(fā)現(xiàn)模式以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)方法，了解在數(shù)學(xué)中圖像的重要性；在高考題中，屢見三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式問題，在實際中，尤其是對一些物理現(xiàn)象的解答，也常常運用到三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式.因此，學(xué)生必須能夠掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式并且能夠巧妙應(yīng)用于解題中.然而，在目前的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)中，卻存在學(xué)生記錯公式或者是記得公式卻不能解題兩種問題.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式教學(xué)有效性的提高勢在必行.經(jīng)過實踐，找到一些行之有效的方法.
一、明確三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的思維主線
三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可以求任意角的三角函數(shù)值，超越銳角到任意角，是特殊到一般的知識發(fā)現(xiàn)過程.那么，如何求得任意角的三角函數(shù)呢？是需要把任意角轉(zhuǎn)化為銳角，通過銳角三角函數(shù)值求得任意三角函數(shù)值，利用特殊來求得一般，這是知識解答的一般思維.繼之而來的，是把任意角轉(zhuǎn)化為銳角的方式與過程.方式為探究任意角的終邊與銳角的終邊的對稱關(guān)系，過程為由圓周的360°以內(nèi)推廣到360°之外.
二、推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式
在了解了任意角與銳角的關(guān)系之后，便可以根據(jù)銳角三角函數(shù)值推導(dǎo)任意角三角函數(shù)值.在高中數(shù)學(xué)課上，推導(dǎo)過程是常常被忽視的，教師要求學(xué)生死記硬背公式，這樣做的結(jié)果是張冠李戴、混亂不堪，記憶錯誤進(jìn)一步導(dǎo)致了學(xué)生實際應(yīng)用的錯誤.鑒于理解之于記憶和應(yīng)用的巨大功能，推導(dǎo)過程是不能省略掉的.
以正切值為例，演示一下推導(dǎo)過程.假設(shè)α終點與單位圓交點的坐標(biāo)為（a，b），tanα=ba；-α對應(yīng)的坐標(biāo)為（a，-b），tan（-α）=-ba=-tanα；π+α對應(yīng)的坐標(biāo)為（-a，-b），tan（π+α）=-b-a=ba=tanα；π-α對應(yīng)的坐標(biāo)為（-a，b），tan（π-α）=b-a=-ba=-tanα；π2-α對應(yīng)的坐標(biāo)為（b，a），tanπ2-α=ab=1tanα=cotα；π2+α對應(yīng)的坐標(biāo)為（-b，a），tanπ2+α=-ba=-1tanα=-cotα；2kπ+α對應(yīng)的坐標(biāo)為（a，b），tan（2kπ+α）=ba=tanα.由此，得出正切的任意角三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.至于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可以設(shè)α的終邊與單位圓相較于一點（a，b），在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出其他相對應(yīng)的五個誘導(dǎo)公式.
三、巧用口訣進(jìn)行記憶和解題
理解了三角函數(shù)誘導(dǎo)公式后，便要進(jìn)行穩(wěn)固地記憶與靈活應(yīng)用.想要實現(xiàn)這個目標(biāo)，可以使用一些口訣.先利用耳熟能詳?shù)目谠E“奇變偶不變，符號看象限”，確定等式右邊的三角函數(shù)的名稱；而在不同象限的等式右邊三角函數(shù)的符號，則采用“一全正、二正弦、三正切、四余弦”的口訣進(jìn)行明確.
這兩句口訣很多學(xué)生會說，但并不會用，在操作時頻繁出錯，這是因為高度概括則會形成理解的困境.下面，闡釋一些這兩句口訣的理解問題：首先，是“奇變偶不變，符號看象限”，奇與偶，說的不是奇函數(shù)與偶函數(shù)，也不是π前面的數(shù)值與π的關(guān)系，而是kπ這個數(shù)值與π2的倍數(shù)關(guān)系，如果是奇數(shù)倍，誘導(dǎo)公式的右邊進(jìn)行名稱變化，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，如果是偶數(shù)倍，誘導(dǎo)公式的右邊依然保持原來的名稱，正弦依然是正弦，余弦依然是余弦，正切依然是正切；其次，是右邊等式的符號問題，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”，即在第一象限的角的三角函數(shù)值全為正值，在第二象限的角的三角函數(shù)值只有正弦為正值，在第三象限的角的三角函數(shù)值只有正切是正值，在第四象限的角的三角函數(shù)值只有余弦是正值，象限角指的是nπ2±α是第幾象限的角，這里的α總是銳角，而α前的正負(fù)可以忽略，當(dāng)然，如果n是負(fù)值，則另當(dāng)別論.
理解了這兩句口訣后，可以先用教材上誘導(dǎo)公式來實踐一下，加深印象：sin（π+α）=-sinα，因為π是π2的2倍，所以等式右邊的名稱依然是sin，因為π+α是第三象限的角，第三象限的角正弦值為負(fù)，所以等式右邊為-sinα；sin（π-α）=sinα，因為π是π2的2倍，所以等式右邊的名稱依然是sin，因為π-α是第二象限的角，第二象限的角正弦值為正，所以等式右邊為sinα；sinπ2+α=cosα，因為π2是π2的1倍，所以等式右邊的名稱變?yōu)閏os，因為π2+α在第二象限，第二象限的正弦值為正，所以等式右邊為cosα；sin32π-α=-cosα，因為32π是π2的奇數(shù)倍，所以等式右邊的名稱變?yōu)閏os，因為32π-α是第三象限的角，第三象限的角的正弦值楦海所以等式右邊為-cosα……
【參考文獻(xiàn)】
三角函數(shù)中的求值問題主要有：已知某三角函數(shù)，求另外某些三角函數(shù)值或三角式的值；已知某三角函數(shù)式的值，求某些三角函數(shù)或三角式的值，求某些非特殊角的三角式的值等幾類，解決這類問題不僅需要用到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、圖像以及三角函數(shù)的恒等變化，還常涉及到函數(shù)、不等式、方程及幾何計算等眾多知識，這類問題往往概念性強，具有一定的綜合性和靈活性。我以為就三角函數(shù)的求值與計算應(yīng)注重以下問題：
一、三角函數(shù)式的化簡：
（1）常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)
二、三角函數(shù)的求值類型有三類：
（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；
（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；
（3）給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。
三、三角等式的證明：
（1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端的化“異”為“同”；
（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。
例題（1）若 ，化簡
主要口訣：化異分母為同分母，脫去根式符號化簡
解析：由已知可知， 在第Ⅱ象限，所以 在Ⅱ、Ⅲ象限。
原式=
= =
=
例題（2）已知函數(shù)f（x）=- sin2x+sinxcosx.
（Ⅰ） 求f（ ）的值；
（Ⅱ） 設(shè) ∈（0， ），f（ ）= - ，求sin 的值.
例題（3）求證：tan x - tan x =
思路分析：本題的關(guān)鍵是角度關(guān)系：x= x - x，
右式= =
= tan x - tan x。
=
思路分析：將左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”替換，
左邊= = = =右邊
1.有利于理解三角函數(shù)的定義。
采用“單位圓定義法”，對于任意角a，它的終邊與單位圓交點P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，即角a（弧度）對應(yīng)于點P的縱坐標(biāo)y――正弦，角a（弧度）對應(yīng)于點P的橫坐標(biāo)x――余弦，可以得到非常清楚、明確的表示。而“終邊定義法”需要經(jīng)過“取點――求距離――求比值”等步驟，對應(yīng)關(guān)系不夠簡潔；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰； "從角的集合到比值的集合"的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要通過運算才能得到，任意一個角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點的選取無關(guān)）也需要證明。以往的教學(xué)實踐表明，許多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不甚明白，與“終邊定義法”的這些問題不無關(guān)系。
2.有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)。
“單位圓定義法”以單位圓為載體，自變量a與函數(shù)值x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等。例如：
（1）P(x，y)在單位圓上 |x|≤1，|y|≤1，即正弦、余弦函數(shù)的值域為[－1，1]；
（2）|OP|2=1 sin2a+cos2a=1；
（3）對于圓心的中心對稱性 sin(π+a)=－sina，cos(π+a)=－cosa；
（4）對于x軸的軸對稱性 sin(－a)=－sina，cos(－a)=cosa；
（5）對于y軸的軸對稱性 sin(π－a)=sina，cos(π－a)=－cosa；
（6）對于直線y=x的軸對稱性 sin(－a)=cosa，cos(－a)=sina；……
3.有利于理解弧度制。
學(xué)生在學(xué)習(xí)弧度制時，對于引進(jìn)弧度制的必要性較難理解。“單位圓定義法”可以啟發(fā)學(xué)生反思：采用弧度制度量角，就是用單位圓的半徑來度量角，這時角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)（也是實數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了。另外，我們還可以這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系：把實數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點固定在單位點A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的任意一個實數(shù)（點）a被纏繞到單位圓上的點P(cosa，sina)。
4.符合三角函數(shù)的發(fā)展歷史。
任意角的三角函數(shù)是因研究圓周運動的需要而產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史上，三角函數(shù)曾經(jīng)被稱為“圓函數(shù)”。所以，采用“單位圓定義法”能更真實地反映三角函數(shù)的發(fā)展進(jìn)程。
一、引言
三角函數(shù)是一門較重要的科學(xué)知識，它往往會與理工科的其他科目有聯(lián)系，我們不僅會在數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到三角知識，而且這一知識也與物理方面的相關(guān)知識掛鉤，如在電學(xué)中，有不少波的相關(guān)公式，以及得出的物理現(xiàn)象就是用三角函數(shù)表達(dá)式表達(dá)的，所得到的圖形是三角函數(shù)圖。所以，三角函數(shù)不僅僅是一門對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有幫助，同時對于工學(xué)類的其他科目也有用途的科學(xué)，在實際工作和生活中有廣泛的應(yīng)用。
二、三角函數(shù)問題概述
1三角函數(shù)問題的特點
到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)接觸過了不少問題，這些三角問題大多數(shù)是通過三角函數(shù)的性質(zhì)和恒等變換來求解的。如我們要計算三角函數(shù)值某個角的大小，就往往是采用計算該角的某一種三角函數(shù)值，再依據(jù)我們學(xué)過的三角函數(shù)性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)值的正負(fù)來確定象限得出來的。我們要判斷三角函數(shù)的單調(diào)性，或者確定三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，往往可以通過基本三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來求解。所以說，三角函數(shù)的一切問題的求解還在于二方面：一是對性質(zhì)的把握，二是熟悉掌握三角恒等變換公式，并在具體的問題中學(xué)會靈活自如地加以應(yīng)用。
三、考題分析
1考題
例題：在 中，角A，B，C 所對應(yīng)的邊分別為 a，b，c，
，求A，B及b，c
2考題求解過程分析
3總體分析
上面這道題是以三角形為主要的參考模型來考查三角函數(shù)知識的，這是三角函數(shù)大題的一大常用考試思路，主要是借助三角形，給出一些已知的參數(shù)（可以是邊，可以是角，從而來求其他三角參數(shù)的值，如可以是面積，也可以是邊角，這是三角函數(shù)的一種基本的考查形式。
3.2.2本題分析
先看考題第一問，要求的是A，B的值，通常情況下，要求出角的大小，我們往往是要求一下角所在的三角函數(shù)值的大小，所以根據(jù)這一思路，我們要求出B，C的三角函數(shù)值，題中給出了三個已知條件，其中第一個邊的大小對于求解第一問起不到幫助，我們只能從后面的二個條件入手，很明顯，從條件2，可以求出C角的三角函數(shù)值，其中 ，這很容易看出來，而根據(jù)這一點，我們可以求解出C角的三角函數(shù)值， ，角C是30或150度，再根據(jù)后面的第三個條件，仍然是把A換成B和C，可以得出 ，直接得出B和C角大小相等。由此，得到三個角的大小，是一個等腰三角形。
3.3考題求解
下面，我們按照先前確定的分析過程，理一下思路，求解二問，具體如下：
解：由 得
，又
由 得
即
由正弦定理 得
四、考題總結(jié)
根據(jù)上面的這道題，我們不難發(fā)現(xiàn)，從結(jié)論開始進(jìn)行分析和展開聯(lián)想是有必要的。上面的這一題的要求解的內(nèi)容，將會直接決定我們分析的走向，如第一問要求三角函數(shù)，我們就要考慮采用三角和差公式，第二問要計算邊長，我們就要聯(lián)想到正、余弦定理。這都是我們在上面這道題中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
4.倒推法求解三角恒等變換問題的基本思路
4.1以問題為出發(fā)點
在前面，我們就已經(jīng)明確指出，倒推法是以問題為中心而展開的。所以，來了三角函數(shù)類問題，我們必須要對將要求解的問題做一個全面的了解，看一下該問題到底是要求什么，要求邊，還是求角，還是求面積，或者是單調(diào)性等。在明確了問題以后，我們就要對此問題進(jìn)行定性的分析。問題不僅僅是決定我們求解的方向所在，也是我們求解的關(guān)鍵突破口。由此看來，對于問題的性質(zhì)進(jìn)行全面的分析是極其重要的，它為后面的解答問題起到了鋪墊的作用。
1 注意條件的對應(yīng)關(guān)系
在搞清楚問題以后，我們就要開始進(jìn)行推理和想象，如上面的那一個實例，我們要調(diào)動一切因素，使我們要解決的問題和已經(jīng)存在的條件無限接近。如第二問，為了使邊和面積之間建立聯(lián)系，又是在三角形中，我們唯一想到的思路就是三角面積計算公式，通過公式，我們就可以得到二條邊的乘積。此外，還有一點也是重要的，那就是給出了角的正弦值，就等同于給出了邊的比例關(guān)系。如果沒有突破這一點，也無法得以求解。
2 大膽推理和聯(lián)想
在倒推法解決問題時，一定的聯(lián)想是有必要的。而且由于我們高考題在情境上會不斷發(fā)生變化，但是只是形式上的變化，仍然存在換湯不換藥，新瓶裝老酒的做法。所以，我們要根據(jù)相關(guān)的情況大膽進(jìn)行推理和猜想，如有這樣一個問題。
例2：若 則 a=B
（A） （B）2 （C） （D）
此題按常規(guī)做法是要計算的，而用倒推法，我們只要分析該角的大小，或者說所處象限就行了，根據(jù)公式有 sin （a+A）= 而A很明顯是一個銳角，（a+A）=270度，意味著 處于第三象限，排除A與B選項，再根據(jù)sinA= 是一個小于30度的角，所以a必須要大于240度，于是 tan a的值比tan60的值要小，所以直接鎖定答案D。根據(jù)此題，我們可以發(fā)現(xiàn)倒推法無法是用于解答小題還是解答綜合題，都可以起到一定的作用。
五、結(jié)束語
根據(jù)本文的分析，倒推法不失是一種用來求解三角函數(shù)問題的基本方法。通過以問題為出發(fā)點，可以進(jìn)一步理出學(xué)過的知識，求解的問題，以及我們現(xiàn)有的條件的關(guān)系，使我們在解決問題時，打開思路，自由發(fā)揮。更為重要的是，它是一種解決問題的思路，尤其是對于解決難度較大的綜合型問題中更可以看到這一點。值得一提的是，倒推法不僅僅適用于解決三角函數(shù)問題，它在解析幾何，立體幾何以及數(shù)列等綜合性問題中仍然有較大的用途，這一切都有待于我們在以后的解題過程中，多加總結(jié)，以便使其能夠發(fā)揮更大的作用。
參考文獻(xiàn)
[1] 周加付. 三角變換的技巧和方法[J]. 成功（教育） 2010年12期
【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；三角函數(shù)；誘導(dǎo)公式
三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式是利用對稱性來探究角的終邊分別關(guān)于原點或坐標(biāo)軸對稱的角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的運用體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，常用的方法就是把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，誘導(dǎo)公式的學(xué)習(xí)不但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，還反映了知識的學(xué)習(xí)是從特殊到一般的思維模式，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識、發(fā)展學(xué)生的思維能力也起到了非常重要的作用。
學(xué)習(xí)這節(jié)課，重點就是要讓學(xué)生們對誘導(dǎo)公式進(jìn)行探究，借助單位圓來推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，并學(xué)會運用誘導(dǎo)公式進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求值，難點就是發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與任意角終邊的坐標(biāo)之間的聯(lián)系以及合理運用誘導(dǎo)公式。下面是我對三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的探究和學(xué)習(xí)過程中的一些方法，旨在通過引導(dǎo)探究的方式，讓學(xué)生們能夠掌握公式的推導(dǎo)方式以及學(xué)會對公式進(jìn)行簡單的運用，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，突破重點難點。課堂過程主要是采用探究的方式進(jìn)行的。教師設(shè)置一定的情境，組織相應(yīng)的探究活動來引導(dǎo)學(xué)生們進(jìn)行公式的探究并學(xué)會簡單的運用。探究的過程主要有以下幾步：
一、明確課堂目標(biāo)
這一步是要讓學(xué)生們明確這節(jié)課的學(xué)習(xí)目的，讓學(xué)生們明確這節(jié)課所要學(xué)習(xí)和探究的究竟是什么。教師可以準(zhǔn)備活動如：1.思考并寫出sin， cos， tan的三角函數(shù)值，給學(xué)生一定的思考時間，可以請兩位學(xué)生到黑板上寫出解答結(jié)果，并讓學(xué)生們口述三角函數(shù)的單位圓定義：sin=y，cos=x，tan= （x≠0），三角函數(shù)的定義是學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生們回憶和復(fù)習(xí)可以更好地聯(lián)系新知識的學(xué)習(xí)。在這個過程中，針對學(xué)生們的疑惑，抓住學(xué)生們在解三角函數(shù)值的時候產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，明確這節(jié)課的學(xué)習(xí)主題和學(xué)習(xí)目標(biāo)。為學(xué)生們設(shè)置這樣的情境，可以讓學(xué)生們引發(fā)思考，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，要解決這樣的認(rèn)知沖突就一定程度上調(diào)動了學(xué)生們學(xué)習(xí)和探究的積極性，為上好新課做好了準(zhǔn)備。
二、組織探究過程
返回剛才的例子，并評價學(xué)生們在黑板上的完成情況，根據(jù)學(xué)生們利用定義求角的三角函數(shù)值的過程，引導(dǎo)學(xué)生們思考角與的終邊有什么關(guān)系。學(xué)生們經(jīng)過思考以及畫圖，發(fā)現(xiàn)這兩個角在數(shù)量上是相差π，在坐標(biāo)系中這兩個角的終邊在同一條直線上，并且關(guān)于原點對稱。
再把這兩個角放在坐標(biāo)中的單位圓上來考慮，設(shè)角與的終邊分別交單位圓于點P1、P2，點P1的坐標(biāo)為P1（x，y） ，讓學(xué)生思考，點 P2的坐標(biāo)如何表示？學(xué)生們可以根據(jù)兩點關(guān)于原點對稱的的位置關(guān)系來得出P2 的坐標(biāo)為（-x，-y）。再進(jìn)一步概括得出，終邊與單位圓的交點坐標(biāo)相反數(shù)。教師再引導(dǎo)學(xué)生們概括出有這樣的數(shù)量關(guān)系的兩個角的三角函數(shù)值會有什么關(guān)系。讓學(xué)生觀察動畫演示，概括出任意角α與角π+α的終邊關(guān)于原點對稱，三角函數(shù)值滿足公式sin（π+α）=-sinα，學(xué)生通過教師的引導(dǎo)用正確的方法進(jìn)行探究和學(xué)習(xí)，并共同得出結(jié)論。再根據(jù)特殊角到一般角的變化，歸納出公式二：sin（π+α）=-sinα，cos（π+α）=-cosα，tan（π+α）= tanα。
通過以上公式的探究過程，教師引導(dǎo)學(xué)生們總結(jié)出探究的方法和思路，再讓學(xué)生們根據(jù)方法的指導(dǎo)自主探究其他的公式。首先可以引導(dǎo)學(xué)生們回顧剛才的探究過程并概括出來。通過這樣的方法和思維的概括，為學(xué)生的自主探究指明了方向。接下來可以給出如下的探究任務(wù)：給定一個角α，探究角π-α和角α的終邊有什么關(guān)系？角-α和角α的終邊有什么關(guān)系？它們的三角函數(shù)之間有什么關(guān)系？組織學(xué)生們進(jìn)行自主探究與討論、合作交流等方式進(jìn)行學(xué)習(xí)。通過使用正確的方法進(jìn)行探究，最終得出公式三和公式四。在探索與合作交流的過程中，不但提高了學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，還加強了他們的合作交流能力。
三、公式的運用
公式的運用是建立在對公式的正確理解的基礎(chǔ)上的。為加強學(xué)生們對公式的理解和掌握以及檢查學(xué)生們對公式的運用能力，教師可以設(shè)置一些練習(xí)來提高學(xué)生們運用知識的能力，但這節(jié)課主要的目的是讓學(xué)生們掌握公式的推導(dǎo)過程和方法，公式的運用并不是重點。因此，在設(shè)置練習(xí)的時候，不要太難，只給一些簡單的基礎(chǔ)的練習(xí)即可。讓學(xué)生們自己在草稿紙上解答，也可以讓個別學(xué)生到黑板上去寫，再組織學(xué)生一起進(jìn)行評講。讓學(xué)生們進(jìn)一步體會和明確用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)的一般步驟：任意負(fù)角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0～2π的三角函數(shù)銳角的三角函數(shù)。通過公式的實際運用及方法的鞏固，進(jìn)一步加強學(xué)生們對公式的理解和掌握。
四、小結(jié)
這節(jié)課的內(nèi)容是公式的學(xué)習(xí)，重點和難點都是公式的推導(dǎo)過程，學(xué)生既要能夠理解，也要能夠?qū)W會這種公式推導(dǎo)過程中所運用的一般思路和一般方法。公式的推導(dǎo)本身就是一個探究的過程，因此，采用探究的方式進(jìn)行教學(xué)是一種不錯的方法。值得注意的是，如果教師在探究的過程中指導(dǎo)過多，那也達(dá)不到鍛煉學(xué)生的效果，如果完全放手讓學(xué)生自主探究，又容易因方法不正確而浪費課堂時間。最好的方式就是教師先帶領(lǐng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，讓學(xué)生們體驗并感悟到探究的思路和方法，再讓學(xué)生進(jìn)行自主的探究，相信這樣一定可以取得很好的課堂效果，突破教學(xué)的重點和難點。
【參考文獻(xiàn)】
[1]雷曉莉，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，中小學(xué)數(shù)學(xué)：高中版，2012年7期
[2]萬錕，“正弦、余弦的誘導(dǎo)公式”教學(xué)反思，當(dāng)代教育，2012年2期
摘要： 三角函數(shù)與反三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)，在光學(xué)條紋圖像分析中有著廣泛的應(yīng)用。在某些特定情況下，如硬件計算或要求快速計算時，可以通過逼近函數(shù)來計算其近似值。現(xiàn)討論三角函數(shù)及反三角函數(shù)的最佳逼近方法?；凇薹稊?shù)，選擇特定區(qū)間推導(dǎo)函數(shù)的最佳逼近多項式，給出了多項式的系數(shù)與最大逼近誤差；再利用三角恒等式將其推廣至函數(shù)的整個定義區(qū)間，得到了各三角函數(shù)與反三角函數(shù)的分段逼近多項式。并且將其結(jié)果用于條紋圖像的分析，以實驗證明了所述方法的有效性。
關(guān)鍵詞： 三角函數(shù)； 反三角函數(shù)； 多項式逼近； 條紋圖像分析
中圖分類號： TP 301.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2013.01.005
引言三角函數(shù)與反三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)，在工程技術(shù)與科學(xué)研究中有廣泛的應(yīng)用，但在某些特定情況下則需通過逼近函數(shù)來計算其近似值。例如，在工業(yè)中常采用單片機、硬件計算設(shè)備或各種小型系統(tǒng)來實現(xiàn)過程的控制[1]，然而這些系統(tǒng)可能并不支持三角函數(shù)的庫函數(shù)計算，那么就需要尋找替代的逼近方法來計算其數(shù)值。另外，相對于一般算術(shù)運算，三角函數(shù)與反三角函數(shù)計算復(fù)雜度相對較高，計算耗時，難以滿足各種實時性要求。例如，在機器人動力學(xué)[2]方程的快速計算中，三角函數(shù)的計算也占很大的比例[3]。另外，在計算機三維建模與三維游戲中，三維模型的空間坐標(biāo)變換也涉及到大量連續(xù)的三角函數(shù)運算[4]。GPU[5]作為一種可編程的圖形處理器，利用Vertex Shader計算反三角函數(shù)也很浪費時間。在這些情況下，采用三角函數(shù)的快速近似計算可以大大提高計算效率[67]，滿足各類實時性要求。同樣，在光學(xué)檢測技術(shù)中，也涉及到大量的三角函數(shù)運算。例如，傅里葉變換位相分析方法[89]中，大量的復(fù)指數(shù)運算需通過正余弦函數(shù)的計算來實現(xiàn)；相移步距未知情況下的相移算法中，需使用反余弦函數(shù)來求解相對相移量[10]；各種位相分析方法一般需通過四象限反正切函數(shù)逐像素計算條紋圖像上的位相分布[11]；而在多視角（口徑）測量[1213]中，則需利用坐標(biāo)變換來實現(xiàn)各視角測量結(jié)果的配準(zhǔn)與拼接，也要用到大量的三角函數(shù)計算。這些計算消耗大量時間，已成為快速測量或?qū)崟r測量的一個瓶頸問題，同時也使得測量數(shù)據(jù)的硬件或固件計算處理難以實現(xiàn)。三角函數(shù)與反三角函數(shù)的快速近似計算可采用多種方法實現(xiàn)。其中，查表法首先對函數(shù)特定區(qū)間按特定分辨率進(jìn)行采樣并計算其數(shù)值，并建表存儲在內(nèi)存中。使用時，直接訪問相應(yīng)地址即可獲得需要的三角函數(shù)值。查表法簡便易行，效率很高，但需要占用一定的內(nèi)存空間。特別是當(dāng)精度要求提高時，所需內(nèi)存的大小也需相應(yīng)地增大。泰勒級數(shù)也常被用來計算函數(shù)的近似值。根據(jù)泰勒定理，一個無限可微函數(shù)可由其泰勒展開式無限逼近。但泰勒級數(shù)收斂較為緩慢，無法實現(xiàn)低階高精度的逼近。例如在區(qū)間[-1，1]上用泰勒級數(shù)計算反正切函數(shù)值時，若要精度達(dá)到10-3數(shù)量級，需將其展開至49階；若要精度達(dá)到10-4數(shù)量級，則需將其展開至499階。這一現(xiàn)象說明，當(dāng)精度要求較高時，泰勒級數(shù)并不是一種實用有效的函數(shù)逼近方法。另一種方法是采用最小二乘多項式逼近三角函數(shù)，該多項式與目標(biāo)函數(shù)之間的平方距離可達(dá)到極小值。由于最小二乘多項式系數(shù)的計算十分簡單，該方法較易于實現(xiàn)。采用這種方法，僅需5階和7階多項式即可分別使上述區(qū)間內(nèi)的反正切函數(shù)的求解精度達(dá)到10-3和10-4數(shù)量級，其逼近效率遠(yuǎn)高于泰勒級數(shù)法。但是，這種最小二乘多項式并非是最優(yōu)的。換言之，存在階數(shù)更低的多項式可達(dá)到相同的精度。不同于上述方法，本文討論三角函數(shù)及反三角函數(shù)的最佳逼近方法，推導(dǎo)了基于無窮范數(shù)的最佳逼近多項式。光學(xué)儀器第35卷
關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；誘導(dǎo)公式；逆用公式
一、重視三角函數(shù)的定義，注意兩種定義的教學(xué)順序
在教學(xué)過程中，我在兩個班的教學(xué)中用了不同的教學(xué)順序：甲班先從銳角三角函數(shù)的定義過渡到任意角三角函數(shù)的定義：若任意α的終邊上一點P（x，y）（x≠0）；令r=OP，則sinα=■，cosα=■，tanα=■。再從P為特殊位置即P為∠α的終邊與單位圓交點時，引入三角函數(shù)的第二種定義，學(xué)生學(xué)得較為自然，在應(yīng)用如“角α終邊經(jīng)過一點P（3，-4），求角α的三個三角函數(shù)值”時正確率較高。
而乙班則嚴(yán)格按照課本要求：先引入單位圓定義任意角三角函數(shù)：若任意α的終邊與單位圓交于一點Q（x，y）（x≠0）；則sinα=y，cosα=x，tanα=■，通過課本12頁的例1求出■的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)（■，-■） ，再求三角函數(shù)值。這個例題學(xué)生還好理解，而在例2的教學(xué)中利用教材中的方法：利用三角形相似去解決，然后才給出與銳角三角形相類似的定義，最后在用一道習(xí)題“已知∠α的終邊與射線y=-2x（x≤0）重合，求α的三角函數(shù)值”鞏固時卻出現(xiàn)了問題：作業(yè)格式混亂，錯誤很多。課后與學(xué)生交流時，都有兩個疑問：一是能否用省事的方法，即用終邊上的點坐標(biāo)直接求解？二是單位圓學(xué)來做什么用，用它來求三角函數(shù)值這不是擾亂我們的思維嗎？通過這兩個班的教學(xué)對比，我進(jìn)行了深刻的反思。
二、進(jìn)行誘導(dǎo)公式口訣的微小改變，注重數(shù)形結(jié)合記憶和運用公式
三角函數(shù)中誘導(dǎo)公式很多，學(xué)生對誘導(dǎo)公式的記憶非常頭痛，且經(jīng)常混淆，這塊內(nèi)容是教學(xué)中的重中之重。在教學(xué)中大多數(shù)教師是教給學(xué)生“奇變偶不變、符號看象限”的記憶口訣，但學(xué)生在運用過程中還是記憶不清。后來我把這種口訣更改為“符號看象限，縱變橫不變。”其理解為：把α看成銳角后，看■±α，■±α，kπ±α等角是屬于哪個象限的角，利用“符號看象限”確定變化后的函數(shù)符號，由于kπ的終邊在橫軸上，±■，±■，±■等的終邊在縱軸上，利用“縱變橫不變”確定函數(shù)名。
三、重視三角函數(shù)的性質(zhì)，注重性質(zhì)學(xué)習(xí)上的微小改變
學(xué)生在學(xué)習(xí)y=sinx與y=Asin（？棕x+？漬）的圖象性質(zhì)時會混為一談，會把y=sinx中的x與y=Asin（？棕x+？漬）中的x當(dāng)成是同一個，在求單調(diào)區(qū)間等問題時常出現(xiàn)錯誤。因而我在教學(xué)中做了一個改變：學(xué)習(xí)三角函數(shù)性質(zhì)時，把三角函數(shù)寫成了：y=sinα，y=cosα與y=tanα，這樣建立的關(guān)系是α與y的對應(yīng)關(guān)系，在橫軸上也寫成α 軸。這樣我們在研究y=Asin（？棕x+？漬）的有關(guān)性質(zhì)時，把？棕x+？漬看作 α來研究，然后再求出x的值或范圍。
四、重視正弦函數(shù)的五個相位與y=Asin（？棕x+？漬）和x軸交點橫坐標(biāo)的關(guān)系
三角函數(shù)y=sinα的圖象中，在一個周期內(nèi)把第一個上升的零點作為第一相位點0，以此類推，分別得出第二到第五相位點■， π，■，2π。
在y=Asin（？棕x+？漬）（A>0）的一個周期內(nèi)的圖象和上述相比較可得出如下結(jié)論：
利用這些關(guān)系能夠很快從圖象中求出？棕和？漬的值。
五、重視三角公式中和、差、倍角公式的逆用
許多三角習(xí)題都要進(jìn)行公式的逆用，而公式的逆用又是學(xué)生最不擅長的，從而給學(xué)習(xí)造成了許多困難。公式的逆用主要有：
（1）由和差角公式得出的輔助角公式：asinx+bcosx=■sin（x+？漬），其中？漬角的確定是學(xué)生最容易出錯的，因而在教學(xué)中要求學(xué)生不能貪快，在書面表達(dá)上要寫出：asinx+bcosx=■（■sinx+■cosx）=■sin（x+？漬），這樣利用cos？漬=■，或sin？漬=■或tan？漬=■從而求出銳角？漬的值。還要要求學(xué)生熟記■，■，■的正、余弦值。
（2）由倍角公式得出的降冪公式：sinxcosx=■sin2x，sin2x=■，cos2x=■。這些公式的正確運用是做好三角化簡題的前題，在三角復(fù)習(xí)中要多加強調(diào)與練習(xí)。
一、 “給角求值”
一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細(xì)觀察則非特殊角與特殊角總有一定的關(guān)系。解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角關(guān)系轉(zhuǎn)化為特殊角，并且求出特殊角的三角函數(shù)而得解。
點評本題中“切化弦”是解題的關(guān)鍵，它為逆用
和角公式鋪平了道路，然后通過對角的合理變換，將其轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值的求解問題。
二、 “給值求值”
給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)式的值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系。
點評化未知角為已知角的思考，抓住了問題的本質(zhì)是函數(shù)值與自變量之間的最基本的對應(yīng)關(guān)系，而不是“變角”技巧。同時，在求解三角函數(shù)值時，一方面要注意角的取值情況，切勿出現(xiàn)增根，另一方面要關(guān)注角與角之間的關(guān)系。通過應(yīng)用整體法來處理各個角，以減少問題的運算量。
三、 “給值求角”
實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該自變量的取值范圍求得角。
求“動點軌跡的方程”是解析幾何部分的重點和難點，我們要求學(xué)生在解答時要注意完備性與純粹性。完備性即軌跡上一個點也不能漏掉；純粹性即軌跡上一個點也不能增加。讓很多學(xué)生頭疼的是，最后求出來的曲線方程是否符合完備性和純粹性？方程后面有沒有附加條件？怎樣做可以避免這類問題的錯誤？我們就學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的問題來談一談如何有效地去掉動點軌跡中多余的點。
下面是兩道學(xué)生作業(yè)題中出現(xiàn)的問題：求出一個軌跡方程便結(jié)束，以為完成了所有解答，卻不知還有多余的點要去除。
例1 蘇教版選修2-1第64頁第3題：
已知動拋物線的準(zhǔn)線為y軸，且經(jīng)過點A（1，0），求拋物線焦點的軌跡方程。
學(xué)生解
設(shè)焦點為F（x，y），
由拋物線定義得AF=d=1，
代入坐標(biāo)得（x-1）2+y2=1。
分析 本題的題設(shè)描述的是拋物線的焦點、準(zhǔn)線和拋物線上一點的關(guān)系，使用定義可以建立幾何等式，進(jìn)一步得到代數(shù)等式，但是在使用拋物線定義時，要注意焦點不在準(zhǔn)線上，所以本題還需要添加如下過程：
因為焦點F不在準(zhǔn)線y軸上，所以x≠0，
所以焦點的軌跡方程為（x-1）2+y2=1，其中x≠0。
例2 蘇教版選修2-1第64頁第4題：
在求軌跡方程時，很多往往算出一個方程便結(jié)束，出現(xiàn)作業(yè)題“對而不全”的情況，求動點軌跡如何去掉多余的點，總結(jié)起來應(yīng)注意以下幾種情況：
1. 有些題目中含有已知曲線，如橢圓、雙曲線、拋物線，它們的定義中都有附加條件，解題時要根據(jù)曲線的定義來考慮完備性和純粹性，如例1；
2. 利用三角形的三點不共線，去掉多余的點，如例2；
1.《三角函數(shù)》在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位
《三角函數(shù)》是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的基礎(chǔ)主要是幾何中的相似形和圓，研究的方法主要是代數(shù)的研究方法，因此，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)已經(jīng)初步把代數(shù)和幾何聯(lián)系起來了.《三角函數(shù)》知識是在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)之后進(jìn)行研究學(xué)習(xí)的，而對于人教版數(shù)學(xué)必修一第一章的內(nèi)容，學(xué)生因為沒有適應(yīng)高中的學(xué)習(xí)環(huán)境，對新的知識、新的學(xué)習(xí)方法掌握得不是很好，《三角函數(shù)》的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生進(jìn)一步理解研究函數(shù)的思想和方法.
2.《三角函數(shù)》的教材編排
中學(xué)數(shù)學(xué)把三角學(xué)內(nèi)容分成兩個部分，第一部分放在義務(wù)教育第三學(xué)段，第二部分放在高中階段.在義務(wù)教育第三學(xué)段，主要研究《銳角三角函數(shù)》和《解直角三角形》的內(nèi)容.在高中階段的三角內(nèi)容是三角學(xué)的主體部分，包括解斜三角形、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和簡單的三角方程.
3三角函數(shù)重點知識的教學(xué)討論
“三角函數(shù)”的內(nèi)容，主要是任意角三角函數(shù)的概念、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及三角函數(shù)圖像與性質(zhì)三方面的知識，掌握好這些基礎(chǔ)知識，是三角函數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ)，是學(xué)習(xí)其它知識的奠基.
3.1“任意角的三角函數(shù)”的概念教學(xué)
任意角三角函數(shù)概念的重點是任意角的正弦、余弦、正切的定義.它是本節(jié)乃至本章的基本概念，是學(xué)習(xí)其它與三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)，具有根本的重要作用.解決這一重點的關(guān)鍵，是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用平面直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點的坐標(biāo)來表示三角函數(shù).
在本節(jié)課的教學(xué)過程中，最重要的是引導(dǎo)學(xué)生回顧初中時學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的定義，從原有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，來認(rèn)識任意角的三角函數(shù)的定義.引導(dǎo)學(xué)生在直角坐標(biāo)系中討論，用坐標(biāo)法研究銳角三角函數(shù)，進(jìn)一步討論改變終邊上的點的位置是否改變其比值.在得出結(jié)果之后，再引導(dǎo)學(xué)生思考，逐步引入單位圓，利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，此時再結(jié)合"任意角和弧度制"中的相關(guān)知識.正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù).在給出三角函數(shù)的定義之后，使學(xué)生明確sinα是一個整體，不是sin與α的乘積，它是“正弦函數(shù)”的一個記號，就如f（x）表示自變量為x的函數(shù)一樣，離開自變量的“sin”“cos”“tan”等式是沒有意義的.根據(jù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù)，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生討論函數(shù)的定義域、函數(shù)值等問題，同時引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)定義，利用數(shù)形結(jié)合的方法判斷三種函數(shù)的值在各象限的符號.利用單位圓以及三角函數(shù)線知識，推導(dǎo)出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：.
任意角三角函數(shù)概念是核心概念，它是解決一切三角函數(shù)問題的基點.無論是研究三角函數(shù)在各象限中的符號、特殊角的三角函數(shù)值，還是同角三角函數(shù)間的關(guān)系，以及三角函數(shù)的性質(zhì)等，都具有重要的意義.
3.2“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”的應(yīng)用教學(xué)
3.3“三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像”的重點教學(xué)
三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性）是三角函數(shù)的重點.教材中主要學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)，要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)圖像的形狀特征，并能在圖像直觀下研究函數(shù)的性質(zhì).教師在教學(xué)過程中利用信息技術(shù)工具（如幾何畫板），快捷地作出三角函數(shù)的圖像，利用動態(tài)演示功能，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖像的特點，觀察函數(shù)變化的過程，運用數(shù)形結(jié)合的方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)，反過來再根據(jù)性質(zhì)進(jìn)一步地認(rèn)識函數(shù)的圖像，使學(xué)生認(rèn)識及運用三角函數(shù)的性質(zhì).
在討論過正弦函數(shù)的圖像之后，再結(jié)合圖像總結(jié)正弦函數(shù)的性質(zhì).由于在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，因此可以根據(jù)類似的思想討論正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其最小正周期是2π，及其奇偶性、單調(diào)性.
其次是余弦函數(shù)圖象與性質(zhì).如同正弦函數(shù)圖像，利用余弦線作余弦函數(shù)圖像比較復(fù)雜，因此根據(jù)教材的建議，在作出正弦曲線的基礎(chǔ)上，利用誘導(dǎo)公式六，通過圖像變換得出余弦曲線.使學(xué)生加強正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的聯(lián)系，為學(xué)生提供通過圖像變換作出函數(shù)圖像的機會，滲透數(shù)形結(jié)合思想.接下來的討論可以根據(jù)研究正弦函數(shù)圖像的方法，包括對余弦函數(shù)性質(zhì)的探討.
《銳角三角函數(shù)》是浙教版《數(shù)學(xué)》九年級下冊第一章的首節(jié)內(nèi)容。銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中邊角之間的關(guān)系，它在解決實際問題中起著重要的作用。這節(jié)課的教學(xué)要使學(xué)生進(jìn)一步體會比和比例、圖形的相似、推理證明等數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，體會數(shù)形結(jié)合的方法，為學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)、利用銳角三角函數(shù)解決實際問題奠定基礎(chǔ)。
二、學(xué)情分析
從學(xué)生的年齡特征和認(rèn)知特征來看，九年級學(xué)生的思維活躍，接受能力較強，具備了一定的數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)歷和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。
從學(xué)生已具備的知識和技能來看，九年級學(xué)生已經(jīng)掌握直角三角形中各邊和各角的關(guān)系，能靈活運用相似圖形的性質(zhì)及判定方法解決問題，有較強的推理證明能力。在這節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，對函數(shù)有了較深的了解。
三、教學(xué)目標(biāo)
這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為：經(jīng)歷銳角的正弦、余弦和正切的探索過程，了解三角函數(shù)的概念；掌握正弦、余弦和正切的符號，會用符號表示一個銳角的三角函數(shù)；掌握在直角三角形中，銳角三角函數(shù)與邊之比的關(guān)系；了解銳角的三角函數(shù)值都是正實數(shù)，會根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求銳角三角函數(shù)值。
四、教學(xué)重點、難點
這節(jié)課的教學(xué)重點是：銳角的正弦、余弦、正切和銳角三角函數(shù)的概念。教學(xué)難點是：銳角三角函數(shù)的概念。
五、教學(xué)過程
（一）情景引入
問題一：甲、乙兩個登山隊在兩個傾斜角不同的斜坡上都步行了150米（如圖1），請問哪個隊登得高？它與什么有關(guān)？
問題二：沿同一斜面運動時，在斜面上所經(jīng)過的距離和水平方向、鉛直方向經(jīng)過的距離與斜面的傾斜角之間有什么關(guān)系？
問題三：如圖2，在上述過程中，請計算BC∶AB的值，你發(fā)現(xiàn)了什么？
【結(jié)論】在直角三角形中，當(dāng)∠A=30°時，BC∶AB是一個確定的值，與點B在角的邊上的位置無關(guān)。
（二）實施任務(wù)一：探索新知
1.如圖3，在邊AM上任意取一點B，作BCAN于點C。用刻度尺先量出AB、AC、BC的長度（精確到1毫米），再計算、、的值，與你的同伴交流，你發(fā)現(xiàn)了什么？（結(jié)果保留2 個有效數(shù)字）
2.如圖4，B，B1是∠α一邊上的任意兩點，作BCAC于點C，B1C1AC1于點C1. 判斷比值與，與，與是否相等，并說明理由。
教學(xué)組織：自主學(xué)習(xí)6分鐘；小組合作交流3分鐘；學(xué)生展示；教師點評總結(jié)，并舉例示范。
【設(shè)計意圖】通過情景中的三個問題引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的探究過程，從而引出三角函數(shù)的定義。舉例示范可以幫助學(xué)生及時得出三角函數(shù)的定義。
（三）實施任務(wù)二：應(yīng)用新知
如圖5，在RtABC中，∠C=Rt∠，AC=2，BC=3. 求：
（1）sinA，cosB；
（2）cosA，sinB；
（3）觀察（1）（2）中的計算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？請說明理由。
（4）請?zhí)剿鱰anA，tanB之間的關(guān)系。
教學(xué)組織：自主學(xué)習(xí)5分鐘；學(xué)生展示。
【設(shè)計意圖】課堂檢測三角函數(shù)的定義掌握情況，由定義發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并學(xué)會用定義去證明新的結(jié)論。
（四）實施任務(wù)三：拓展提升
如圖6，在RtABC中，∠C=Rt∠，CDAB，sinA=，求cosA和tan∠BCD。
教學(xué)組織：自主學(xué)習(xí)5分鐘；學(xué)生展示。
【設(shè)計意圖】拓展提升，活化能力，能理解三角函數(shù)的定義，并運用定義求三角函數(shù)的值。
（五）課堂小結(jié)
在本節(jié)課中，我們――
1.學(xué)習(xí)了一個重要概念：銳角三角函數(shù)；
關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;三角函數(shù);數(shù)學(xué)模式
數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”數(shù)形結(jié)合就是指把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，是抽象思維和形象思維的結(jié)合，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。
高中數(shù)學(xué)課程中，三角函數(shù)這一章節(jié)一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點，公式太多、計算結(jié)果正負(fù)號的確認(rèn)、比較三角函數(shù)值大小等均是學(xué)生頭疼的地方。很多學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識時處于模糊狀態(tài)，做題幾乎靠蒙。究其原因，因為學(xué)生不會畫或者沒記住三角函數(shù)的圖像。下面我們利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過三角函數(shù)的圖像解決這節(jié)知識所包含的一些問題。
一、三角函數(shù)公式的記憶（以正弦函數(shù)舉例）
下面是正弦函數(shù)的幾個相關(guān)公式：
sin（α+2kπ）=sinα（k∈Z）（1） sin（-α）=-sinα（2）
sin（π-α）=sinα （3） sin（π+α）=-sinα（4）
我們通過圖像來幫助記憶，y=sinx x∈[0，2π]的圖像如下：
圖1 圖2
通過圖1可知，函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)，且周期T=2π，所以公式（1）就可以理解了。
通過圖2可知，若α為第一象限角，則sinα>0;此時-α為第四象限角，由圖像可知對應(yīng)的正弦函數(shù)值為負(fù)。
即sin（-α）<0。要實現(xiàn)等式“sin（-α）=？sinα”，顯然可知等式左邊為正，右邊為負(fù)，為了滿足等式成立的要求，“？”處只能為“-”，即公式（2）sin（-α）=-sinα。
同理可知，π-α為第二象限角，且由圖像可知sin（π-α）>0，要實現(xiàn)“sin（π-α）=？sinα”，“？”處只能為“+”，即公式（3）sin（π-α）=sinα;π+α為第三象限角，且由圖像可知sin（π+α）=
？sinα，要實現(xiàn)，“？”處只能為“-”。
二、三角函數(shù)值正負(fù)號的確認(rèn)（以正弦函數(shù)舉例）
圖3 圖4
三、不求值比較三角函數(shù)的大?。ㄒ哉液瘮?shù)舉例）
在三角函數(shù)這一章節(jié)中，經(jīng)常出現(xiàn)這樣一類問題：“不求值比較三角函數(shù)的大小”。這類問題是本章節(jié)學(xué)習(xí)的一個難點，學(xué)生一直在“>”與“<”之間隨機選擇，找不到解題的切入點。
